流体运动学

3.建立连续性方程第三章流体运动学1.研究流体运动的两种方法2.介绍流线、迹线、流量等基本概念4.流体微团运动的分析5.建立旋涡运动与无旋运动的概念6.引入速度势函数与流函数的概念§3-1研究流体运动的两种方法流体质点(particle)-拉格朗日法两个基本概念：空间点—欧拉法拉格朗日变量：一、拉格朗日（Lagrange)法（质点法）x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t)1110(,,,)abct2220(,,,)abct讨论：1.当ａ，ｂ，ｃ为常数时2.若t为常数时代表一个流体质点随时间的变化，即迹线。某一特定时刻，不同的流体质点的分布情况§3-1研究流体运动的两种方法拉格朗日法速度和加速度(accleration)为：),,,(tcbavtxvxx),,,(tcbavtyvyy),,,(tcbavtzvzz),,,(22tcbaatxtvaxxx),,,(22tcbaatytvayyy),,,(22tcbaatztvazzz§3-1研究流体运动的两种方法ｖx＝ｖx（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｖy＝ｖy（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｖz＝ｖz（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）二、欧拉法(Euler)（空间点法）xzyOM（x，y，z）t时刻x，y，z，t称为欧拉变数§3-1研究流体运动的两种方法xzyOM（x，y，z）t时刻讨论：1.当x,y,z为常数时2.若t为常数时代表先后通过某一空间点的流体质点的运动情况某一特定时刻，通过不同的空间点的流体质点的流动情况3若针对一个具体的质点，x，y，z，t均为变数，且有x(t),y(t),z(t)§3-1研究流体运动的两种方法欧拉法加速度(),(),(()),xtytztuutxxxxxxdxdydzdtdtdtduuuuuadttxyzyyxyzyyyuuuauuuxyzutxxzxyxxxuuuuutuaxyuzzzxyzzzzuuuauuuxyzut（1）(2)t时刻,质点a位于空间点M(x,y,z)u(x,y,z,t)'a',',')(',',',')tMxyzuxyzt时刻，质点位于（xzyO§3-1研究流体运动的两种方法加速度物理意义1）,,当地加速度或局部加速度（导数）yutzutxut２)变位加速度或迁移加速度xxxxyzuuuuuuxyzxzyOt时刻，M(x,y,z)u(x,y,z,t)'',',')(',',',')tMxyzuxyzt时刻，（t时刻，质点at’时刻，质点bbat0uuulimttt’时刻，质点a!!不是同一个质点的速度变化率§3-1研究流体运动的两种方法BAAB2.什么情况下只有位移加速度？3.什么情况下两部分加速度都有？1什么情况下只有局部加速度？讨论：§3-1研究流体运动的两种方法()DVVaVVDtt加速度的矢量式:xyzuVVVVatyzuux()yyyyxyzyuuuauutuuxyzjj()xxxxxyxziuuuuaxuyuuizt()zzzzxyzzuuuauutuuxyzkk()())(xyzxyzijkuuuxyyxVuiujukyy()xyzuVVVyVuuVxy§3-1研究流体运动的两种方法0yxzvvvpttttt§３-２几个基本概念一、定常运动与非定常运动1.定常流动(steadyflow)2.非定常(non-steadyflow)BAAB定常运动与坐标的选取有关在岸边观察为非定常流动在船观察为定常流动§３-２几个基本概念二、轨迹线(pathline)1.定义：连续时间内流体质点在空间经过的曲线称为轨迹线。着眼点是个别流体质点，与拉格朗日法相联系2.特点：轨迹线上各点的切线方向表示的是同一流体质点在不同时刻的速度方向。§３-２几个基本概念dtudzudyudxzyx3.轨迹线的方程式：一条迹线：一个流体质点在一段时间内描述的路径。§３-２几个基本概念三、流线(streamline)1.定义：流场中这样一条连续光滑曲线：它上面每一点的切线方向与该点的速度矢量方向重合§３-２几个基本概念§３-２几个基本概念§３-２几个基本概念2.流线特点•流线上各点的切线方向所表示的是在同一时刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形状一般都随时间而变。•定常运动，流线的形状，不随时间变化，流体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。•流线一般不相交•流线不转折，为光滑曲线。§３-２几个基本概念),,,(),,,(),,,(tzyxvdztzyxvdytzyxvdxzyx3.流线的微分方程注意：积分时时间作为参量。§３-２几个基本概念同一流动的迹线和流线也与坐标的选取有关§３-２几个基本概念四、流管和流量(flowrate)（1）流管：在流场中作一不是流线的任意微小封闭曲线C,通过C曲线上各点的流线构成的一管状表面。§３-２几个基本概念uddQQ（2）流量：(体积流量)(volumetricflowrate)单位时间内通过过水断面的流体体积udQU（3）平均流速§３-２几个基本概念条纹线是在一段时间内流过流场中同一点的各流体质点在某一瞬时的连线。五条纹线（烟线，脉线，色线）§３-２几个基本概念一维，二维与三维流动1.流动维数的确定：三维流动:速度场必须表示为三个方向坐标的函数v=v(x,y,z,t)二维流动:速度场简化为二个空间坐标的函数v=v(x,y,t)或v=v(r,z,t)一维流动:速度场可表示为一个方向坐标的函数v=v(x)或v=v(s)§３-２几个基本概念2.常用的流动简化形式：(1)二维流动：平面流动轴对称流动(2)一维流动：质点沿曲线的流动v=v(s)流体沿管道的平均速度v=v(s)§３-２几个基本概念例3.6已知流场的速度分布为ｖx＝x+t，ｖy＝-y+t（４）ｔ＝1，过点（1,2）的加速度。试求：（１）ｔ＝0，过点（-1,-1）的迹线；（２）ｔ＝0，过点（1,2）的迹线；（３）ｔ＝０，过点（-1，-1）的流线；故经过点(-1,-1)的轨迹线方程为:解：（1）轨迹线微分方程为:dxxtdtdyytdt11txCet21tyCet120,1010txCyC2xy迹线故过点（1，2）的轨迹线方程为:11txCet21tyCet120,1223txCyC21txet31tyet（２）ｔ＝0，过点（1,2）的迹线；（３）流线微分方程为:dxdyxtyt则过点(-1,-1)的流线方程为()()xtytc0,1,11txyc1xy迹线流线yvvxvvtvayyyxyyyvvxvvtvaxyxxxx（４）加速度公式为所以ax=1+（x+t）·１＋（-y+t）·０＝３ｍ／s2ay=1+（x+t）·０＋（-y+t）·(-１)＝2m／s2@§３-３连续性方程式（equationofcontinuity)一、一元流动（onedimensionalflow）ρ１U１σ１＝ρ２U２σ2即可压缩流体（compressiblefluid）对于定常流动ρUσ＝const对于不可压缩流体(incompressiblefluid)：1122UU截面积小的地方流速大，截面积大的地方流速小。12Uconst或者二、空间运动的连续性方程式流出控制体的净质量()()()yxzvvvdxdydzxyz控制体内的质量的减少量:dxdydzt流出控制体的净质量=控制体内减少的质量()()()0yxzvvvxyzt()()()yxzvvvdxdydzdxdydzxyzt()()()0yxzvvvxyz定常流动()0Vt或不可压缩流体，ρ＝const0divV或0yxzvvvxyz0V或()()()0yxzvvvxyzt三、平面极坐标系中的连续方程0)(1)(1vrrrvrtr不可压缩流体ρ=const式中ｖｒ为径向速度，ｖθ为圆周切向速度。01)(1vrrrvrr定常流动0)()(1)(1zvvrrrvrtzr0)(sin1)sin(sin1)(122vRvRRvRRtR四、柱面坐标系中的连续方程ｖｒ、ｖθ、ｖｚ是柱坐标ｒ，θ，ｚ轴上的速度分量。五、球面坐标系中的连续方程ｖＲ，ｖθ，ｖφ是速度在球坐标Ｒ，θ，φ轴上的分量。六、积分形式的连续性方程单位时间内经过σ流入τ内的净质量为:dnv)(dτ内的流体质量为()dvndtv()0dvndt——欧拉型连续方程式的积分式ddtt()()()[]0yxzvvvdtxyz()()()0yxzvvvtxyz——欧拉型连续方程的微分式流体无论是理想，还是粘性流体，定常还是非定常流动均适用。()()()()[]yxzvvvvnddxyzv§３-４流体微团运动的分析流体微团的运动形态：平移旋转变形→线变形角变形刚体的运动：平移+旋转平移转动线变形角变形平面流动平移转动线变形角变形点Ｍ（x,y,z）处的速度为Vx,Vy,Vz点Ｍ１（x＋dx，y＋dy，z＋dz）处速度111xxxxxyyyyyzzzzzVVVVVdxdydzxyzVVVVVdxdydzxyzVVVVVdxdydzxyz一、流体微团速度分解公式11122xxzxxyxVdVVVVVdzzzVdyyyxddxxx11)(21(1())21()22xyxyxxxzxzxVVzVxVyVVxVxVVdxdzdyxVzxdyzVyd1xyzzxxyvvdxdzedydydz（3-34）xvexxyveyyzvezz)(21zvyvyzx)(21xvzvzxy)(21yvxvxyz)(21zvyvyzx)(21xvzvzxy)(21yvxvxyz其中：1yzxxyyzvvdydxedzdzdx1zxyyzzxvvdzdyedxdxdy1xyzzxxyvvdxdzedydydz二、各项的物理意义1ｅx,,ｅy、,ｅz六面体微团在ｘoｙ面上投影（1）：流体微团沿ｘ方向的应变率xxvexyyvey（2）:ｙ方向的应变率zzvez（3）:ｚ方向的应变率2γx,γy,γz1yvddtx单位时间内AB边的转角单位时间内AD边的转角2xdvdty121()21()2yxddddtdtdtvvxy1()2yxzvvxy流体微团在xy平面内剪切