数学欣赏2006F

[e-mail]数学与计算科学学院主讲：张文俊SZU第六章数学问题名人语录问题是数学的心脏。——P.R.HALMOS意义深刻的数学问题从来都不是一找出答案就完事了。……每一代数学家都重新思考并重新改造他们的前辈所发现的解答，并把这些解答纳入当代流行的概念和符号体系之中。——L.BERS深圳大学综合选修课程只要一门学科分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境地。几个著名数学问题的历史与现状•几何作图三大难题–化圆为方–倍立方体–三等分角•费马大定理•哥德巴赫猜想•四色猜想•庞加莱猜想选题原则：典型、重要、著名、合适范围：古代三大难题；近代三大难题;现代七大希尔伯特[e-mail]@szu.edu.cn几何作图三大难题InThisSection一家人化圆为方三等分角倍立方体[e-mail]=×2=（公元前5世纪——1882年）深圳大学数学与计算科学学院[e-mail]背景1•几何学起源：古代中国和古埃及。•古希腊几何：公元前七世纪，“希腊七贤”之一的“希腊科学之父”泰勒斯到埃及经商，掌握了埃及几何并传回希腊。诡辩学派与几何作图欧几里得诡辩（智人）学派与几何作图问题：公元前六世纪到五世纪，以芝诺（Zenon,约公元前490---前429）为领袖的诡辩学派，以注重逻辑性而著称，他们主要研究几何作图问题。为何研究作图问题•主要目的:培养与锻炼人的逻辑思维能力，提高智力.•作图方式：限定作图工具：直尺（无刻度）和圆规限定作图时间：必须在有限步内完成•遗留难题：化圆为方倍立方体三等分角深圳大学数学与计算科学学院[e-mail]传说21.“化圆为方”——一个囚徒的冥想公元前5世纪，古希腊数学家、哲学家安纳萨格拉斯（Anaxagoras,约公元前500—428年）在研究天体过程中发现，太阳是个大火球，而不是所谓的阿波罗神。分明是一个大火球，哪里是什么神呀？由于这一发现有背宗教教意，安纳萨格拉斯被控犯下“亵渎神灵罪”而被投入监狱，并判处死刑。在监狱里，安纳萨格拉斯对自己的遭遇愤愤不平，夜不能眠。夜深了，月光透过正方形的铁窗照进牢房，安纳萨格拉斯不断地变换观察圆月的方位，一会儿看见圆月比方窗大，一会儿看见方窗比圆月大。最后他说：“算了，就算两个图形的面积一样大好了。”=于是，他把求作一个正方形，其面积等于已知圆的面积作为一个问题进行研究。=求作一个正方形，其面积等于已知圆的面积这就是化圆为方问题该问题直到1882年才被德国数学家林德曼（C.L.F.Lindemann，1852——1939）证明为不可能。2.瘟疫、祭坛与“倍立方体问题”公元前429年，希腊首府雅典发生了一场大的瘟疫，居民死去四分之一，希腊的统治者裴里克里斯也因此而死。雅典人派代表到第罗（Delos）的太阳神庙祈求阿波罗神，询问如何才能免除灾难。一个巫师转达阿波罗神的谕示：由于阿波罗神神殿前的祭坛太小，阿波罗神觉得人们对他不够虔诚，才降下这场瘟疫，只有将这个祭坛体积放大成两倍，才能免除灾难。×2=居民们觉得神的要求并不难做到。因为他们认为，祭坛是立方体形状的，只要将原祭坛的每条边长延长一倍，新的祭坛体积就是原祭坛体积的两倍了。于是，人们按照这个方案建造了一个大祭坛放在阿波罗神的神殿前，但是，这样一来，瘟疫不但没有停止，反而更加流行。居民们再次来到神庙，讲明缘由，巫师说道：“他要求你们做一个体积是原来祭坛两倍的祭坛，你们却造出了一个体积为原祭坛8倍的祭坛，分明是在抗拒他的旨意，阿波罗神发怒了。”居民们明白了问题所在，但是，他们绞尽脑汁，却也始终找不到建造的方法。他们请教当时的有名数学家，数学家也毫无办法，这个问题就作为一个几何难题流传了下来。这就是著名的“倍立方体问题”，又叫“第罗问题”：求作一个正方体，其体积等于已知正方体体积的两倍该问题直到1837年才由万锲尔（P.L.Wantzel,1814--1848）给出否定的答案。3.公主的别墅与“三等分角问题”公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。亚历山大城郊有一片圆形的别墅区，圆心处是一位美丽的公主的居室。别墅区中间有一条东西方向的河流将别墅区划分两半，河流上建有一座小桥，别墅区的南北围墙各修建一个大门。这片别墅建造的非常特别，两大门与小桥恰好在一条直线上，而且从北门到小桥与从北门到公主的居室距离相等。过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为小公主修建一片别墅，小公主提出她的别墅要修建的向姐姐的一样，有河、有桥、有南门、北门，国王答应了。北门N南门SH公主居室小桥P河流小公主的别墅很快就动工了，但是，当建好南门，确定北门和小桥的位置时，却犯了难。如何才能保证北门、小桥、南门在一条直线上，并且，北门到居室和小桥的距离相等呢？北门N南门SH公主居室小桥P河流要确定北门和小桥的位置，关键是算出夹角。记a为南门S与居室H连线SH与河流之间的夹角，则通过几何知识可以算出北门N南门SH公主居室小桥P河流NSH32aNSHa?这相当于求作一个角，等于已知角的三分之一也就是三等分一个任意角的问题。工匠们试图用尺规作图法定出桥的位置，却始终未能成功。这个问题流传下来，直到1837年才由万锲尔给出否定的答案。这就是著名的“三等分任意角”问题求作一个角，等于已知角的三分之一深圳大学数学与计算科学学院[e-mail]3三大作图难题难在何处？直尺和圆规能做什么？作图工具——直尺和圆规能做什么？直观地看：（1）通过两点作直线；（2）以已知点为圆心，已知线段为半径作圆；（3）定出两条已知非平行直线的交点；（4）定出两个已知圆的交点；（5）定出已知直线与已知圆的交点。深入地看：17世纪数学家笛卡尔创立的解析几何知识，将几何问题转化为代数问题研究，从而也为解决三大难题提供了有效的工具。笛卡尔1837年数学家万锲尔（P.L.Wantzel,1814--1848）注意到：直线方程是（一次）线性的，而圆的方程是二次的。通过上述五种手段所能做出的交点问题，转化为求一次与二次方程组的解的问题。简单的代数知识告诉我们：通过直尺与圆规所能做出的只能是已知线段（长度）的和、差、积、商以及开平方的有限次组合。三大作图问题要作什么？（1）“倍立方体”，要作出数值三大作图问题的不可能性320343axx（2）“化圆为方”，要作出数值（3）“三等分角”，如果记a=cosA,要作出角度A/3,也必作出相应的余弦值x=cos(A/3),由三倍角公式，此值x是方程的解。三大作图问题是不可能的（1）“倍立方体”，要作出数值，“三等分角”，要作出是三次方程的解。1837年万锲尔证明，这两个问题都是用直尺和圆规不能作出的。320343axx（2）“化圆为方”，要作出数值，1882年德国数学家林德曼（C.L.F.Lindemann，1852——1939）证明了是超越数，随即解决了“化圆为方”问题的不可能性。深圳大学数学与计算科学学院[e-mail]“不可能”=“未解决”4生活中：“不可能”=“未解决”在日常生活中，我们许多情况下所指的“不可能”，意味着在现有条件或能力下是无法解决的，是不可能的，它会随着历史的发展由不可能变为可能。这里的“不可能”等于“未解决”。比如，在没有发明电话之前，一个人在香港讲话，在深圳的人们不可能听到；在没有飞机之前，要在3小时内从香港到达北京也是不可能的，如今这些都已成为可能。数学中：“不可能”“未解决”但是，数学中所说的“不可能”与“未解决”具有完全不同的含义。所谓“不可能”是指，经过科学论证被证实在给定条件下永远是不可能的，它不会因时间的推移、社会的发展而发生改变。而“未解决”则表示目前尚不清楚答案，有待于进一步研究的。打一个形象的比喻：“到木星上去”是一个未解决的问题，您可以去研究解决的办法；但“步行到木星上去”则是一个不可能的事情，如果有人再去一门心思研究这个问题就会成为笑话。其前提是尺规作图。如果不限于尺规，它就会成为可能，目前已知的方法就有好几种。“三等分角问题”除了尺规要求外，还有一点常被人忽略，那就是三等分的是“任意角”，对于某些具体的角度，比如90，它就是可能的。几何三大作图难题是已经解决了的，结论为“不可能”。深圳大学数学与计算科学学院[e-mail]启示5启示1:对于历史长、影响深，经过一些著名数学家钻研而尚未解决的那些著名问题，往往要越出通常的方法才能解决.它山之石，可以攻玉！启示2:问题本身的意义不仅在于这个问题的解，更在于一个问题的解决可望得到不少新的成果和发现新的方法。醉翁之意不在酒！启示3:几何三大问题的研究开创了对圆锥曲线的研究，发现了一些有价值的特殊曲线，提出了尺规作图的判别准则，等等。这些都比几何三大问题的意义深远得多。无意插柳柳成荫！对于那些至今未解决的许多著名问题，例如哥德巴赫猜想等，也应采取这样的态度，停留于初等方法是决不可能解决这些问题的[e-mail]第二节Fermat大定理方程没有正整数解。3,nzyxnnn（1637年——1994年）深圳大学数学与计算科学学院[e-mail]背景1费马其人费马费马其人生平费马（PierredeFermat,1601---1665）,1601年8月20日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙-德洛马涅一个皮革商人家庭。大学法律系毕业后在地方法院当律师，业余时间研究数学，30岁以后，对数学痴迷，几乎把全部业余时间投入数学研究。德、行、能力费马为人谦逊，淡泊名利，勤于思，慎于言，潜心钻研，厚积薄发。他精通法语、意大利语、西班牙语、拉丁语、希腊语等，为他博览众书奠定了良好的基础。费马曾经深入地研究过韦达、阿基米德、丢番都等人的著作。成就费马在解析几何、微积分、概率论和数论等方面，都做出了开创性的贡献，是解析几何、微积分与概率论的先驱，并被誉为近代数论之父，成为17世纪欧洲最著名的数学家之一。费马在世时，没有一部完整的著作问世，他的大部分研究成果都是批注在阅读过的书籍上，或者记录于与友人的通信中。费马去世后，在众多数学家的帮助下，费马的儿子将其笔记、批注以及书信加以整理，汇编成两卷《数学论文集》分别于1670年和1679年在图卢兹出版，费马的成果才得以广泛流传。费马猜想——费马大定理古希腊数学家丢番都把他对不定方程整数解的研究写成一本书《算术》，1621年，该书被巴歇翻译成拉丁文出版并开始在欧洲流传。后来，费马在巴黎的书摊上买到这本书，引起他的浓厚兴趣。此后，费马经常翻阅此书，并不时地在书页空白处写下批注。该书第二卷命题8给出了方程x2+y2=z2的整数通解。若m,n是两个正整数，且2mn是完全平方数，则通解为mnnmzmnnymnmx2221637年，费马在阅读这一命题后，在该命题旁边空白处用拉丁文写下一段具有历史意义的批注：“将一个正整数的立方表为两个正整数的立方和；将一个正整数的四次方表为两个正整数的四次方和；或者，一般地，将一个正整数的高于二次的幂表为两个正整数的同一次幂的和，这是不可能的。对此，我找到了一个真正奇妙的证明，但书页的空白太小，无法把它写下。”用式子来表达这段话就是：方程xn+yn=zn(1)在n2时没有正整数解。在费马去世五年后的1670年，费马的儿子在整理父亲遗留的书籍时，发现了这一批注，并公开出版。深圳大学数学与计算科学学院[e-mail]两个特例：n=3,42新人出击瑞士人。18世纪最优秀的数学家。世上最多产的数学家。13岁入大学，17岁取得硕士学位，30岁右眼失明，60岁完全失明。欧拉LeonhardEuler(1707-1783)欧拉（1707-1783）n=4的费马大定理证明：无穷递降法基本思想：（欧拉：1738）假如（