数学文化欣赏

品数学文化第三讲主讲人杨辉主要内容幻方溯源幻方的构造幻方奇趣幻方溯源yi两个传说在我国古老的《易经》中有这样一句话：“河出图，洛出书，圣人则之。”后来，人们根据这句话传出许多神话。相传，在上古伏羲氏时代，洛阳东北孟津县境内的黄河里跃出一匹龙马，龙马背上驮了一幅图，上面有黑白点55个，用直线连成10数（如图），献给伏羲。后人称之为“河图”。伏羲依此而演绎成八卦，后为《周易》来源。又相传在公元前23世纪大禹治水的时候，在黄河支流洛水中，浮现出一个大乌龟，甲上背有9种花点的图案，献给大禹。后人称之为“洛书”。大禹依此治水成功，并依次划天下为九州，制定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》。•直观地考察河图洛书，不难发现，这两幅图具有数字性和对称性这两个明显特点：•第一，数的概念直接而又形象地包含在河图洛书之中。两图中黑点组成的数都是偶数（古代称阴数），白点表示的数是奇数（古代称阳数）。河图含有1~10共10个自然数，洛书含有1~9共9个自然数。因此，数字性是河图洛书的基本内容之一。•第二，对称性。河图洛书的结构对称。河图，以两个数字为一组，分成五组，以[5，10]居中，其余四组[7，2]、[9，4]、[6，1]、[8，3]依次均匀分布在四周；洛书，以数5居中，其余8个数均匀分布在八个方位。•与河图相比，洛书标志着中国原始文化的更高成就，她只用了9个自然数排列成一个正方形，形成华夏历史上影响深远的九宫图，且奇妙结构和无穷变化，令中外数学家为之叹服！她的魅力吸引了许多中外学者对她进行长期的研究，古人对洛书推崇备至，认为她能含盖人间万事万物，其小无内，其大无外，用之言天则天在其中，用之言地则地在其内，用之言人而人不在其外，尤其是纵、横、对角线上的3个数之和均等于15，使其成为我国古代都城的规划模式。洛书开了幻方世界的先河，成为组合数学的鼻祖。数学家华罗庚对洛书非常推崇，称“洛书可能作为我们和另一星球交流的媒介。”几千年来，“河图”与“洛书”成了我们中华民族通晓自然奥秘的宝库，哲学、天象、医学、数学、音乐等都从中得到启蒙。（1）洛书与幻方把“洛书”用数字表达就是下面的数表，这就是我们今天要讨论的一个“幻方”。492357816•最早有关幻方的文字记载是中国古代数学书《数术拾遗》，那里记载了上述源自“洛书”的方图，当时称为“九宫图”，我国南宋数学家杨辉称这种图为纵横图，欧洲人称之为魔术方阵或幻方。长期以来，纵横图被作为一种数字游戏。直到南宋时期，杨辉将她作为一个数学问题而加以深入的研究。杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。一般地，把n2个不同数字依次填入由n×n个小方格构成的正方形中，使得横行数字之和、直列数字之和以及对角线数字之和都相等，这样的数图叫做一个（n阶）幻方，各直线上数字之和叫幻和。是否对任意自然数n都存在n阶幻方？对每个n存在多少个n阶幻方？如何构作？这就是组合数学研究的问题之一。（2）为什么要研究幻方？幻方有多少？为什么要研究幻方？幻方起源于古老的传说，自古有一种神秘色彩，人们把她当作护身避邪的吉祥物。许多人热衷于研究幻方，起初，只是因为她包含了无尽的神奇之美，而且，研究幻方本身也是对人的智力的开发。喜欢幻方、研究幻方的人不仅限于数学家，还有物理学家、政治家；不仅有成年人，也有孩子。现代科学家研究幻方，已经远远不是为了好玩或驱灾避邪。电子计算机出现以后，幻方在程序设计、组合分析、人工智能、图论等许多方面发现了新用场。•例1、食堂现有单价分别为1元——9元的菜各一种，按照三种菜为一组分配，须保证每组菜的合计价格都为15元，问有多少种分配方案?•例2、台湾黎凯旋的《易数浅谈》中有这样的描述：从日本学习飞机知识的台湾驾驶员，第一堂课上的就是幻方知识课，因为幻方的构造原理与飞机上的电子回路设置密切相关。•例3、海上漂浮建筑，首先要解决的问题，就是要将建筑面分割成方阵格，每格的建筑重量的确定，需要象构造幻方一样巧妙设计，因为只有各线各方向上的重量处处均衡才能是建筑物不致于倾斜。幻方中各数若是从1到n2的连续自然数，则称之为标准幻方。n阶标准幻方的幻和为研究幻方，可以分类进行。按照幻方阶数的奇偶性，幻方可以分为奇数阶幻方与偶数阶幻方；偶数阶幻方中，阶数为4的倍数的幻方叫做双偶阶幻方（如4，8，12等阶）;其它的叫单偶阶幻方（如6，10，14等阶）。2)1(2nn还有一些特殊性质的幻方:如果一个幻方中的各数换为它的平方数后得到的数图还是幻方，则这个幻方叫做双重幻方或平方幻方；如果一个幻方的各横行、直列、对角线上各数字之积也分别相等，则称之为乘积幻方。幻方有多少？可以很容易地证明，2阶幻方是不存在的。我国南宋时期数学家杨辉早在1275年就给出了3—10阶的幻方。目前，国外已经排出了105阶幻方，我国数学家排出了125阶幻方。同一阶幻方，可以有多种不同的排法，阶数越大，排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方，我们有：3阶幻方只有1种；4阶幻方有880种；5阶幻方有275305224种（约两亿七千五百万）；7阶幻方有363916800种（约三亿六千四百万）；8阶幻方超过10亿种。幻方的构造2刚才已经介绍，在阶数大于3时幻方的种类有很多，但能够具体构造出来的却不是很多。下面我们介绍4种构造幻方的通用方法。（1）杨辉与奇数阶幻方的构造我国南宋时期数学家杨辉曾对幻方有过深入系统的研究，他于1275年给出了3—10阶的幻方。这里我们给出他关于奇数阶幻方的构造方法，这些方法记载于他的《续古摘奇算经》上。比如，对于3阶幻方，方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进。”，具体操作如下图：九子斜排上下对易，左右相更四维挺进142753869942357861492357816类似的原理可以构造5阶、7阶、9阶等奇数阶幻方。下图给出了5阶幻方的构造过程。1621173161284211713952218141023191524202525子斜排上下对易，左右相更25242011734128165171392110181422231915621四维挺进25242011247203441225816165175132192110101811422222361921562111247203412258161751321910181142223619215（2）奇数阶幻方的劳伯尔（DeLaLoubère）构造原理：1居上行正中央,下数依次右上放。上出格时往下放,右出格时往左放。排重便往自下放,右上出格一个样。123456789101112131415161718192021222324251居上行正中央,下数依次右上放。上出格时往下放,右出格时往左放。排重便往自下放,右上出格一个样。如果给定一个等差数列，我们也可以按照以上方式依次将数列数字填入方格构造出奇数阶幻方。3.偶数阶幻方的海尔(Hire)构造偶数阶幻方的构造总的来说要比较困难。下面介绍的是法国人海尔的方法。为此，我们先引入一个概念：根数——在一个n阶幻方的构造过程中，数字p=1，2，…，n的根数为n(p-1)例如，在四阶幻方中，1的根数为0，3的根数为8；在10阶幻方中，3的根数为20，5的根数为40。下面是海尔构造n阶偶数阶幻方的方法与步骤（以4阶为例具体填数）：（1）将1到4这4个数字分别从左到右（左小右大）填入方阵的两条对角线中,得方阵A；（2）把A中每一行的空格中填入1到4该行尚没有的剩余数字（左大右小）,使每行每列数字之和均为10,得方阵B；142323141324423142311324方阵A方阵B（3）把方阵B转置，即交换行列，此时得到方阵C，C中的数叫原始数；（4）把C中各原始数分别用其相应的根数替换，得方阵D；144132232332411401212084484884120012方阵C方阵D（5）最后将B、D两方阵中对应数分别相加，便得到一个n阶幻方E。11514412679810115133216132442314231132401212084484884120012幻方E4.双偶阶幻方的构造对于双偶阶幻方，我们有比较简单的构造方法。为此，我们先给出一个概念：补数——在一个n阶幻方的构造过程中，数字p=1，2，…，n2的补数为n2+1–p.例如，在四阶幻方中，1的补数为16，3的补数为14；在8阶幻方中，1的补数为64，5的补数为60,10的补数为55。下面我们以8阶幻方为例说明双偶阶幻方的构造方法。首先将从1到82这82个自然数依次连续填入方阵各方格内（如图）12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数，得到的方阵即是一个n阶（双偶阶）幻方。64236160675795554121351501617474620214342244026273736303133323435292838392541232244451918484915145253111056858595462631幻方奇趣3•九宫数图最基本的规律，是其纵横及对角线上三数之和都为15，且九个数相加之和为45，是15的3倍。4923578161.九宫图的奥秘•438+951+276=834+159+672492357816222222438951276843159672香港业余数学家黄志华先生发现了下面有趣的现象：用幻方中的1，3，9，7顺时针构造四个两位数：97，71，13，39，以及逆时针构造四个两位数：31，17，79，93•他用计算器验算：•97+71+13+39=31+17+79+93；222222229771133931177993333333339771133931177993•顺着这种思路，我们构造两个三位数组：139，397，971，713及79，793，931，317．用计算机验算，同样发现•139+397+971+713=179+793+931+317，2222222239797171313993131717979333333333397971713139931317179793深入研究其数字的排列组合，还可以发现以下规律：•①其8组数列中包含4组等差数列：[4、5、6]、[3、5、7]、[8、5、2]、[1、5、9]，以5为中心，逆时针方向，各数列的公差分别为1、2、3、4，这又是一个以1为公差的等差数列。②另四组数列也有一定的规律（如图所示），从图中可以看出，这四个数列相邻两数的差颠倒对称，而且四边的数中，均有相邻两数之差为5，且各个数字均不重复，具体为：上[4、9、2]9-4=5；下[8、1、6]6-1=5；左[4、3、8]8-3=5；右[2、7、6]7-2=5。•③奇数和偶数相互交错排列，四角之数为偶数，中间之数为奇数，同时，中间除5之外的四个数，任何两个之差都为偶数，且分别为四角四个数，具体为：9-7=3-1＝2；9-3=7-1=6；9-1=8；7-3=4•另外：任何一个角上的数都等于与这个数不在同一行、同一列及对角线上的两个数之和的一半。例如，在图中，右上角的“2”等于第2行第1列的“3”与第3行第2列的“1”之和的一半。4923578162.画家杜拉（AlbrechtDűrer）的铜版画1514年，著名画家杜拉（AlbrechtDurer）画了一幅描绘知识分子忧郁情调的铜版画《忧郁》（有的书上称为《沉思》），其中载入一个使人入迷的4阶幻方（如下图）。16321351011896712415141其引人入胜之处在于她具有许多美妙的性质比如：（1）幻方中间四个角和中心位置四个小