巧算巧算面积

第六章巧算巧算面积（二）在计算比较复杂的平面图形面积时，常用方法是：(1)“割补法”：把原来的图形剪拼成我们所熟悉的“基本”图形。(2)“分解法”：把复杂的图形分成几个简单的图形。除此之外，还可以运用平移、旋转等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导来寻求解题的有效途径。【例1】把△ABC的边AB三等分，AC四等分，如图所示。已知△ADE的面积为l平方厘米，求△ABC的面积。做一做1如下图，BD=3AD，CE=5AE，问：△ABC的面积是△ADE的面积的（）倍。【例2】在下图所示的长方形中，E，F分别是AD和DC的中点。如果已知长方形ABCD的面积是64平方厘米，求阴影部分的面积。思维导航精典例题做一做2如下图所示，长方形ABCD的面积为36平方厘米，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD边上任意一点。问：阴影部分的面积是多少？【例3】一个正方形，如果一边增加6厘米，另一边增加2厘米，那么所得的长方形面积比原正方形面积多92平方厘米。求原正方形的边长。做一做3一个正方形，一边截去6厘米，另一边截2厘米，剩下的长方形面积比原正方形面积少68平方厘米。求原正方形的边长。【例4】图1是一块长方形草地。长方形长16米，宽10米，中间有两条宽2米的道路，一条是长方形，另一条是平行四边形。求有草部分（阴影部分）的面积。做一做4求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。【例5】下图中的每个长方形小格的面积都是1平方厘米，求阴影部分的面积。做一做5如下图，每个长方形小格的面积都是1，求阴影部分的面积。【例6】如图1，直角梯形ABCD的上底和腰相等，正方形DEFG的边长等于6厘米，阴影部分的面积。做一做6如下图，正方形ABCD的边长为l，E是AD的中点，P为CE的中点，那么△BPD的面积是多少？【例7】如图1，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？做一做7如图，E是矩形ABCD的边BC的中点，BD与AE的交点为F，那么，图中阴影部分(三角形FAB)与矩形ABCD的面积之比是（）。快乐闯关(1)在下图中，BC=CD，CE=3AE，△ABC的面积是12平方厘米，求△CDE的面积。(2)在下图所示的长方形内有一个钝角三角形，按照图上的数值，求出这个三角形的面积。(3)如下图，△ABC是一个等腰直角三角形，它与一个正方形叠放在一起。已知AE，EF，BF三条线段一样长，且△EFD(阴影部分)的面积是4，求△ABC的面积。(4)一个平行四边形ABCD被CE分成两部分（如下图），梯形ABCE与△ECD的面积差是18.6平方厘米，又知平行四边形ABCD的高为6.2厘米，BC=15厘米。求梯形的上底长。(5)如下图，△ABC的面积为1,AE=ED,BD=2DC，求阴影部分的面积。(6)一个长方形，如果长增加2厘米，宽增加5厘米，那么面积就增加60平方厘米，这时恰好是一个正方形，求原长方形的面积。(7下图中，正方形ABCD的边长为12，P是AB边上任意一点，M，N，I，H分别是边BC，AD的三等分点，E，F，G是边CD的四等分点，求图中阴影部分的面积。(9)三条边长分别为6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去，与斜边相重合（如下图），那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？第七章巧解长方体和正方体（一）在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。【例1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）做一做1一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？【例2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）思维导航精典例题做一做2有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。【例3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？做一做3把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？【例4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。做一做4一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？【例5】一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？做一做5有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？（1）把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积是（）立方分米。快乐闯关（2）有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。（3）有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积是（）立方厘米，表面积是（）平方厘米。（4）如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积是（）立方厘米，表面积是（）平方厘米。（5）一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了（）平方厘米。（6）把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少（）平方分米。（7）一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积是（）平方厘米。（8）有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成（）种不同的长方体。（9）一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是960立方厘米，求它的表面积是（）平方厘米。第八章巧解相遇和追及问题（二）相遇问题常用关系式：路程和=速度和×相遇时间速度和=路程和÷相遇时间相遇时间=路程和÷速度和相遇时间=路程差÷速度差追及问题常用关系式：追及时间=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及时间路程差=速度差×追及时间常用思考方法：①整体思考法，②转化法。【例1】甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。甲、乙两人从东镇，丙从西镇同时相向出发，丙遇到乙后再经过2分钟遇到甲。求两镇之间的距离。做一做1甲、乙、丙三人走路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发，相向而行。甲和乙相遇后，过了5分钟又与丙相遇。求A，B两地间的距离。【例2】A、B两车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次是在离甲站50千米处相遇。相遇后两车各以原速度继续行驶，到达乙、甲两站后立即原路返回，第二次是在离乙站30千米处相遇。问：如此继续下去，A，B两车第三次在何处相遇？思维导航精典例题做一做2客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，第一次相遇是在离乙地80千米的地方。相遇后继续行驶，均在到达对方出发地后立即返回，第二次相遇是在距离甲地50千米处。求甲、乙两地间的距离。【例3】甲、乙两人往返于A、B两地之间，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，在途中相遇。甲每小时行10千米，乙每小时行8千米，各自到达对方出发地后立即返回，第一次与第二次相遇点的距离为20千米。求A，B两地之间的距离。做一做3客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发点后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点间相距120千米。已知客车每小时行60千米，货车每小时行48千米，问：甲、乙两地相距多少千米？【例4】甲、乙两人从相距1836米的两地相向同时出发，9分钟后，两人在途中相遇。如果甲、乙两人每分钟都多行6米，那么相遇的地方距离原相遇地点9米。问：甲、乙两人每分钟各行多少米？做一做4甲、乙两人从相距4800米的两地同时相向而行，30分钟后相遇。如果他们每分钟的速度各增加20米，那么，相遇地点距前一次相遇地点24米。求甲、乙两人原来的速度。【例5】甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地。甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米。途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟到目的地1小时。求两地间的距离。做一做5A，B两地相距20千米，甲、乙两人同时从A地出发去B地。甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时行5千米。甲在途中停了一段时间修车。乙到达B地时，甲离B地还有2千米。问：甲修车用了多少时间？【例6】甲、乙两地相距48千米，其中有一部分是上坡路，其余是下坡路。某人骑自行车从甲地到达乙地后，沿原路返回，去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分。已知自行车上坡每小时行10千米，求：自行车下坡时每小时行多少千米？做一做6南、北两镇之间全是小路。某人上山每小时走2千米，下山每小时走5千米。他从南镇到北镇要走38小时，从北镇到南镇要走32小时。问：两镇之间的路程是多少千米？【例7】从A站开往B站的公共汽车每隔30分钟开出一班。某乘客到达A站时汽车刚好开出，他立即改为步行，速度为每小时5千米。他向前走了3千米时，被第2辆汽车赶上，再向前走5千米又与第2辆汽车在返回的途中相遇。已知这辆汽车在B站停留了30分钟，求A、B两站间的距离。做一做7两人同时从A地去B地，一人骑自行车，另一人骑摩托车。自行车每小时行18千米，摩托车的速度是自行车的2倍。摩托车到达B地后暂停30分钟立即返回A地，在返回途中与自行车相遇，他们从出发到相遇经过4小时30分钟。求A，B两地间的距离。【例8】如下图所示，是一个边长为100米的正方形的墙。甲、乙两人分别从两个对角处沿围墙按逆时针方向同时出发。已知甲每秒跑5米，乙每秒跑3米。问：至少经过多长时间甲才能看到乙？ABCD乙甲做一做8甲、乙两个同学分别站在长方形围墙外的两角上（如下图），如果他们同时开始绕着围墙沿逆时针方向跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，那么，甲至少跑多少秒才看到乙？（一）相遇问题巩固练习（1）两地的距离是1120千米，有两列火车同时相向开出。第一列火车每小时行60千米，第二列火车每小时行48千米。在第二列火车出发时，从里面飞出一只鸽子，以每小时80千米的速度向第一列火车飞去。问：在鸽子遇上第一列火车时，第二列火车距离目的地多远？（2）甲、乙两人同时从两地骑车相向而行，甲车速度是15千米每小时，乙车速度是13千米每小时，两人相遇时，距离中点3千米。问：这两地的距离是多少千米？（3）A、B两地相距8千米，小明骑自行车从A地出发到B地，开始以每分钟120米的速度行驶，后来改为以每分钟160米的速度行驶，共用了l小时到达B地。问：小明是在离A地多少米的地方改变速度的？快乐闯关（4）早上8点，小明和小强从甲、乙两地出发，以不变的速度相向而行。9点20分两人相距10千米。10点时，两人还是相距10千米。11点时小明到达乙地，这时小强距甲地多少千米？(2009年北京市解题能力测试)（5）两地相距1720米，甲、乙相对而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走55米。甲走了2分钟后因事回家，再以同样的速度往回走，这样两人相遇时要用多少分钟？（二）追及问题巩固练习（1）学校和部队驻地相距16千米。小红和小宇由学校骑车去部队驻地，小红每小时行12千米，小宇每小时行15千米。当小红走了3千米后，小宇才出发。问：当小宇追上小红时，距部队驻地还有多少千米？（2）小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小周从学校出发骑自行车去追小明，