硕士生数值分析试卷答案2013

1湖北工业大学2013级硕士学位研究生试题科目代号科目名称数值分析考试时间2013.12.26上午8:30-10:30考试地点2-007;2-0081、答案请写在答题纸上，在此试卷上答题无效。2、允许使用计算器一、填空题（每小题2分，共20分）(1)设x的相对误差为2%，则nx的相对误差是0.02n.(2)设)())(()(10nxxxxxxxf，则差商],[10xxf=0，],,[210xxxf=0.(3)设()(0,1,2)jlxjn是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，jx为互异节点，则0()njjlx1；njjkjxlxx0)()(0.(4)插值型求积公式nkkkbaxfAdxxf0)()(的求积系数kAnkdxxlbak,,1,0,)(，至少具有n次代数精确度.(5)梯形求积公式具有1次代数精度,辛普生求积公式具有3次代数精度.(6)使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算.(7)非线性方程f(x)=0的牛顿迭代格式为),2,1,0()()(1nxfxfxxnnnn，使用该迭代格式在单根处是2阶收敛，在重根处是1阶收敛.(8).设0.60.50.10.3A，则A=1.1，1A=0.8.(9)已知实对称矩阵的全部特征值为n,,,21,则条件数2()CondA=minmax.(10)对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)1.二、(10分)取99的6位有效数9.94987，则以下两种算法各有几位有效数字？(要误差分析过程，不要直接计算的结果！)205013.094987.91099100501256399.094987.19194987.910199101解：记**)(,94987.9,99xxxexx，则51021)(xe由)()10(xexe得51021)()10(xexe因而算式05013.094987.9109910至少具有4位有效数字.又由22)10()()10()10(101xxexxexe得7252101256.0)94987.910(1021)10()(101xxexe因而算式0501256399.094987.19194987.910199101至少具有7位有效数字.三、(10分)求经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三个样点的插值多项式.解：由Lagrange插值公式得.13)12)(02()1)(0(2)21)(01()2)(0(1)20)(10()2)(1()(202,02xxxxxxxyxxxxxLkkkjjjkj四、(10分)设},1{22xspanM，试在2M中求xxf)(在区间[-1，1]上的最佳平方逼近元.3解：设210)(,1)(xxx，则)(xf在2M中的最佳平方逼近多项式为)()()(1100xaxaxP则有如下正则方程组),(),(),(),(),(),(101011011000ffaa即211523232210aa解得1615,16310aa故最佳平方逼近多项式为.1615163)(2xxP五、(10分)给定求积公式(0).5)0()0()(10fCBfAfdxxf，试确定CBA,,，使其代数精度尽可能的高，并指明此时求积公式的代数精度,然后估计求积公式的误差.解：分别将2()1,,fxxx，代入求积公式，可得.31,21,111021010dxxBxdxCBdxBA解得61,31,32CBA，求积公式为(0).61.5)0(31)0(32)(10fffdxxf令3()fxx时求积公式不精确成立，从而精度为2.由于此求积公式的代数精度为2，故余项表示式为),(][fKfR令3()fxx，得,!3)(f于是,(0)61.5)0(31)0(32)(103fffdxxfK从而.721(0)61.5)0(31)0(32!31103fffdxxK4故得).1,0(),(721][ffR六、(10分)证明解),(yxfy的梯形格式)],(),([2111nnnnnnyxfyxfhyy是二阶的，并求出局部截断误差的主项.证：局部截断误差为)],(),([2)()(1111nnnnnnnyxfyxfhxyxyT)O(h])()([2)(!3)(2)(4132nnnnnxyxyhxyhxyhxyh)O(h])(2)()()([2)(!3)(2)(4232nnnnnnnxyhxyhxyxyhxyhxyhxyh)O(h)(1243nxyh所以梯形方法是二阶方法，其局部截断误差的主项为).(123nxyh七、(10分)应用牛顿法于方程0)(axxfn和01)(nxaxf，分别导出求na的迭代公式.解：八、(10分)用直接三角分解(Doolittle分解，LU分解)求解下列线性方程组：.0221,8514131,9615141321321321xxxxxxxxx5解：15130045160106151413553045160106151412121514131615141231312362434rrrrrr从而1513004516010615141,13621341UL先求解Ly=b,得再求解Ux=y，得九、(10分)对方程组13212321xx，若用迭代法,1,0),()()()1(kbAxxxkkk求解，首先写出迭代格式的迭代矩阵，再讨论在什么范围内取值可使迭代收敛，取什么值可使迭代收敛最快？解：迭代矩阵AEB，A的特征值为1,4，故B的特征值为.41,1谱半径}.41,1max{)(B要使迭代收敛，则,1)(B从而当021时收敛，当)(,4.0B最小，收敛最快.