上海交通大学计算方法(数值分析)期末试卷-(2)

上海交通大学研究生试卷《计算方法》一、已知),,1,0(,),(Niyxii及拟合这批数据的非线性数学模型bxaexy)(1．如何将非线性模型线性化？2．写出线性化模型中待定系数的法方程。3．设数据),,1,0(,),(Niyxii如下：ix0123iy2.0101.2100.74000.4500求出拟合上述数据的非线性拟合函数。二、给定求解常微分方程初值问题00)(),(yxyyxfy的线性多步公式)][)(1111nnnnnffhyyy其中：),(,),(111nnnnnnyxffyxff试确定系数,，使它具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。三、设TnAIee，其中：nI为n阶单位阵，为非零实数，(1,1,,1)Te1．试确定之值，使得A为Householder阵（初等反射阵）2．取1，求A的-条件数||||||||1AA四、设n阶实矩阵A的特征值满足：n，对应的特征向量满足)~1(nixi满足jijixxijji,0,1),(。求矩阵A的按模最小特征值的算法如下：2,1,)max(1)()()()()()1()(mzxzxAzmmmmmmm其中：)max()(mz表示向量)(mz的绝对值最大的分量，)0(x为任一非零向量。记)(xR为向量x的Rayleigh商。1．证明：1)(limmm2．设2112A，对A作LU分解3．取01)0(x，计算)3(，)3(x和)()3(xR五、设A为对称正定矩阵.考虑迭代格式：0],)2([)()1()()1(bxxAxxkkkk1．求证：对任意初始向量)0(x，序列{)(kx}收敛，且收敛到bAx之解.2．取2112A，。求上述迭代的收敛速度。六、求以0，1，2为样条节点并满足下列插值条件的三次样条函数S(x)：S(0)=0,S’(0)=0;S(1)=1;S(2)=0,S’(2)=0.七、证明若f(a)=f(b)=0,则：max|''()|()axbabfxbafxdx123