第4章--矩阵的广义逆

第4章矩阵的广义逆bAx1A但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵往往是奇异方阵或是1AG，这就促使人们去想象能否推广逆矩阵的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵，使方程组的解仍可以表示为Gbx的形式．nmnm矩阵（一般），显然不存在通常的逆矩阵任意的广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，是线性方程组的求解问题的实际需要，设有线性方程组bAx0||A阶方阵，且时，则方程组存在唯一解且可表示为：An当是1920年穆尔（Moore）首先提出了广义逆矩阵的概念，但其后的30年未引起人们的重视．直到1955年彭诺斯（Penrose）利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的新的更简便实用的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，其理论和应用得到了迅速发展，已成为矩阵论的一个重要分支，广义逆矩阵在数理统计、最优化理论、控制理论、系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重要应用．1第4章矩阵的广义逆§4.1Moore-Penrose广义逆矩阵(1)A§4.2广义逆矩阵§4.3广义逆矩阵A{1,2}§4.4广义逆矩阵A{1,3}§4.5广义逆矩阵A{1,4}§4.6M-P广义逆矩阵§4.7广义逆在解线性方程组中的应用§4.8几种计算的直接方法A+2线性方程组一般理论复习定理A:线性方程组Ax=b,ACnn,x,bCn对任意右端b都有唯一解的充要条件是A-1存在.证:必要性令Ax(i)=ei,i=1,…n,X=(x(1),…x(n))Cnn其中ei为En的第i列(今后将常用此记号)则AX=(Ax(1),…,Ax(n))=(e1,…,en)=EnA-1=X.充分性若A-1存在,则对任意右端bAx=bx=A-1b即x=A-1b是线性方程组Ax=b的唯一解.本章着重介绍广义逆矩阵的概念、性质、计算方法和应用．3减号逆若一般线性方程组Ax=b,ACmn,xCn,bCm(1)对任意bR(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵A-Cnm称为A的一个减号逆.因为当ACnnn时,(1)的解都可表示为x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆:A-=A-1.这一事实说明减号逆是普通逆矩阵的推广.4减号逆举例例:A=C23有下列两个实质不同的减号逆:A-=或证:易见两种情形都有AA-=E2,从而,对任意bC2,AA-b=bAx=b有解x=A-bC2即对任意bR(A)=C2,Ax=b的解都可表示为x=A-b所以,这两个A-都是A的减号逆.注:此例说明减号逆一般不唯一.322221120023006/13/13/13/15矩阵的单边逆1定义.,1LAGAG记为的左逆矩阵为则称nEGA使得如果有设,,mnnmCGCAmEAG如果.,1RAGAG记为的右逆矩阵为则称6证充分性：1()HHGAAA;)1(为列满秩矩阵左可逆的充要条件是AA.)2(为行满秩矩阵右可逆的充要条件是AA为列满秩A为满秩矩阵AAHnHHEAAAA1)(nEGA左可逆A必要性：nLEAA1，则设nmCA命题1)()(1AArankArankLnErankn)(nArank)(为列满秩A（2）同理可证7};0{)()1(ANA左可逆的充要条件是.)()2(mCARA右可逆的充要条件是只有零解0Ax证充分性：}0{)(ANnArank)(为列满秩A必要性：左可逆AnLEAA1则设,nmCA推论)(ANx)(1AxAxExLn001LA}0{)(AN初等变换求左(右)逆矩阵:*0)()1(GEEAPnm*0)2(GEQEAmn8100000101000121)(3EA9为设矩阵A001021A.1LAA的一个左逆矩阵求例10100211LA100000101002101解为设矩阵A.1RAA的一个右逆矩阵求210121A10例2解1000100012101213EA1000101212100011002103210100011002103210100010010211RA§4.1Moore-Penrose广义逆矩阵4.1.1广义逆矩阵的基本概念nmCA定义2设为任意复数矩阵，如果存在复矩阵mnCG，满足AAGA（1）GGAG（2）（3）AGAGH)(GAGAH)(（4）定义111由于M-P的4个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的G，总之，按照定义2可推得，满足1个，2个，3个，4个M-P方程的广义逆矩阵共有15类，即1544342414CCCC．但应用较多的是以下5类：}1{A，}2,1{A，}3,1{A，}4,1{A，}4,3,2,1{A．下面将会看到，只有}4,3,2,1{A是唯一确定的，其他各类广义逆矩阵都不唯一：4个方程的全部或一部分，则称G为A的一个广义逆矩阵，并把上面4个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果G满足M-P的4个方程式，则G称为A的穆尔-彭诺斯广义逆，记为，一般地，如果G满足4个M-P方程式中的第个，则称G为A的一种弱逆，记为}4,3,2,1{AGkiii,,21)41(k},,{21kiiiAG12（1）满足方程（1）的广义逆矩阵类记为}1{A，其中任意一个确定的广义逆，称为减号逆，记为A；}2,1{A（2）满足方程（1）与（2）的广义逆矩阵类记为rA其中任意一个确定的广义逆，称为自反减号逆，记为}3,1{A（3）满足方程（1）与（3）的广义逆矩阵类记为mA其中任意一个确定的广义逆，称为最小范数广义逆，记为}4,1{A（4）满足方程（1）与（4）的广义逆矩阵类记为lA其中任意一个确定的广义逆，称为最小二乘广义逆，记为}4,3,2,1{A（5）满足全部4个M-P方程的广义逆矩阵类记为下面分别介绍这5类广义逆矩阵.称为加号逆，或穆尔-彭诺斯广义逆A记为A这类广义逆对给定的来说只有唯一的一个广义逆，13.,AGAG记为的广义逆矩阵为则称定义3,,mnnmCGCA如果存在矩阵设))((ARbbAGb使得使其满足充要条件是存在,mnCGAAGA。减号逆记为)(AG问题的引入(1)A§4.2广义逆矩阵则一定是解，那么称是的一种广义逆。nmxGbGA有解，只要如果设定义bAxCbCAmnm,,1,mnACAA设则存在广义逆矩阵的定理114证明：”“,,GbxbAxCbm有解方程bAGb即,,mnCAzCz有那么，AzAGAz.AAGA从而，”“.00bAxbAxx的解，即是方程设可得：由AAGAbAxAGAx00,bAGb即，.的解是方程说明bAxGbx.,AGAG的减号逆是使其满足充要条件是存在,mnCGAAGA,mnACAA设则存在广义逆矩阵的定理11推论的一个广义是且设ACACAmnnm,)()(ArankArank,A逆矩阵则15证:)()(AAArankArank)(AArank)(Arank定义3设A为一个nm复矩阵，若有一个mn复矩阵G存在，使（1）成立，即AAGA，则称G为A的一个{1}-广义逆，记为}1{AG或}1{AG，也称G为A的一个减号广义逆，记为AG，即有AAAA．（5）例1设010101A，010001B，100001C，由于AABA，AACA，所以，B与C均为A的减号逆．4.2.1广义逆的定义和构造(1)A16显然，减号广义逆不唯一，并且减号逆是普通逆矩阵的推广．mnrGGGE222112证明因为对任意的，都有例2证明：若nmrEA000，则mnrGGGEA222112，即mnrrGGGEE222112000，其中222112,,GGG是任意给定的．17nmrE000mnrGGGE222112nmrE000nmrE000所以AGGGEmnr222112nmrE000mnrGGGE222112nmrE000nmrE000nmrE000mnGGGG22211211nmrE000nmrE000mnrGGGE222112证明因为对任意的，都有所以反过来，对任意的，若满足rEG11则必有，即AGGGEmnr222112mnGGGGA22211211mnrrGGGEE22211200018证明由定理所设，存在非奇异矩阵nnmmCQCP,使得000rEPAQ，即11000QEPAr．PGGGEQGr222112222112,,GGG对．其中分别是)()(,)(),(rmrnrrnrmr的任意矩阵．由于定理2设A是nm矩阵，rArank)(，非奇异矩阵nnmmCQCP,使得000rEPAQ（*）则A的减号逆矩阵存在，且可表示为PGGGEQAr222112，其中222112,,GGG分别是)(rmr，rrn)(，)()(rmrn的任意矩阵．191122211211000000QEPPGGGEQQEPAGArrrAQEPr11000111111000000000QEPQEPAQEPrrr00000000011rrrEEPAQEPGGGEQAr222112故AG所以，AAAA反之，由，即有2022211211000GGGEEPAQrr由例2可知：）（1A定理2不仅给出了{1}-广义逆的存在性，而且给出了{1}-广义逆的表示与计算方法：*00*00QPPAQEQEEAEP*EEAQP,000rEPAQ（1）求非奇异矩阵,使得注意到：对矩阵进行初等变换，E的位置记录了对A进行变换的过程．说明：1.（*）式实际上是A的秩分解。2.定理2告诉我们的一般形式，从而告诉我们有解方程组AX=b的一般解。1A（）21A（2）写出的减号逆PGGGEQAr2221121=A（）解因为100*010001103300012300001211~100*010001100333010122001211100*01000111100003132100001211~