数学建模论文-公平席位分配

公平席位分配问题：学生姓名：学号：专业班级：指导老师：2017年5月4日公平分配问题摘要本文主要讨论了如何公平分配席位的问题，通过各种合理的计算和研究，使席位分配方案达到一定程度上公平状态的最佳方案。本文主要根据各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型和Q值模型制定分配方案。同时比较两种方法的优缺点，从而确定合适的模型解答这道题。首先，根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义，以及相对不公平数的定义，以便来检验模型的公平性程度。其次，建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位比例和各系人数比例的等式，进而求得所获席位数。同时，再建立一个Q值模型，通过Q值模型也得出一个比较合理的分配方案。关键词：公平分配；比例惯性模型；Q值法目录第1章问题重述......................................................................................................1第2章问题分析......................................................................................................1第3章模型假设......................................................................................................1第4章符号说明......................................................................................................1第5章模型建立和求解..........................................................................................25.1比例惯性法模型和求解..............................................................................25.1.1比例惯性模型介绍............................................................................25.1.2计算与求解过程................................................................................25.1.3模型评价与检验问题........................................................................35.2Q值法模型和求解......................................................................................45.2.1两个系的公平席位分配问题............................................................45.2.2三个系的公平席位分配问题............................................................65.2.3模型评价与检验问题........................................................................7第6章模型评价与比较..........................................................................................86.1比例模型......................................................................错误!未定义书签。6.2Q值模型......................................................................错误!未定义书签。第7章模型的优缺点..............................................................错误!未定义书签。7.1模型的优点..................................................................................................87.2模型的不足..................................................................................................87.3改进方向......................................................................................................97.4模型优化......................................................................................................9第8章参考文献......................................................................................................91第1章问题重述三个系有260名学生，甲系130，乙系80，丙系50，代表会议共26席，按比例分配，三个系分别为13,8,5席。现因学生转系，三系人数为133，83，44，问26席如何分配。若增加到27席，又如何分配才能公平。第2章问题分析各系的人数将影响着各系所获得的席位名额。人数越多的系所获得的席位名额越多，人数越少的系所获得的席位名额越少。席位的公平分配取决于每系平均一个席位占的人数是否相等。名额的分配是按照各系人数与各系总人数的比例来进行分配的。各系名额的比例与各系人数的比例几乎相等。这是一个分配问题，关键在找到最公平的席位分配方案。第3章模型假设（1）模型的公平定义是相同的。（2）模型所要求的公平是绝对的公平。（3）模型不考虑各系自身的要求。（4）分配到各系的名额数目均为整数第4章符号说明符号名称含义备注𝐴甲系无𝐵乙系无𝐶丙系无𝑛𝑖分给各系的席位数𝑖=1、𝑖=2、𝑖=3分别表示A、B、C系𝑝𝑖各系里的总人数𝑖=1、𝑖=2、𝑖=3分别表示A、B、C系2𝑁需要分配的总席数第5章模型建立和求解这章节我们将用两个模型来试图解决这类公平席位分配的问题——比例惯性法与Q值法。5.1比例惯性法模型和求解5.1.1比例惯性模型介绍这个模型的思路就是按照各系人数在总人数中的比例来分配各系的席位数。由席位数与总席位数之比等于系人数与各系总人数之比得：𝑛𝑖𝑁=𝑝𝑖∑𝑝𝑖31，即可得各系所得的席位数：𝑛𝑖=𝑝𝑖∑𝑝𝑖31×𝑁。5.1.2计算与求解过程当需要分配26个席位时，系别学生人数比例（%）理论的席位数（个）甲13351.1513.29乙8331.928.30丙4416.924.40总和260100.00（99.9）26.00（25.99）当需要分配27个席位时，系别学生人数比例（%）理论的席位数（个）甲13351.1513.81乙8331.928.613丙4416.924.57总和260100.00（99.9）27.00（26.99）5.1.3模型评价与检验问题发现按学生人数的比例分配，此时𝑛𝑖=𝑝𝑖∑𝑝𝑖31×𝑁不再是整数，而实际分配的席位数必须是整数。此时比例分配法就不能够用了。于是我们自然出现的想法是：对𝑛𝑖进行“四舍五入取整”或者“去掉尾数取整”，这样将导致名额多余或者名额不够分配。（一）四舍五入取整法我们以分配26席位的情况为例：系别学生人数比例（%）理论的席位数（个）实际分配席位数（个）甲13351.1513.2913乙8331.928.308丙4416.924.404总和260100.00（99.9）26.00（25.99）25≠26甲系在理论上分配的席位数为13.29，经过四舍五入取整，得甲可分配到13个席位。以此类推：乙是6.3，获得6个；丙是3.4，获得3个。我们发现，各系所获席位相加为25席位，而总,26个席位。由此可知，这种方法显然不行。（二）去掉尾数取整法例如分配26席位时，因为丙系的小数部分比其他两系都大，因此把席位分配给丙。让丙获得余下的最后一个席位所以生活中这类现象发生时,我做下面几个步骤：①当各系所获席位为整数时直接得出最后结果；②当为小数时先取得整数部分分到各系,再比较小数部分的大小,将余下的几个席位按小数部分由大到小的顺序依次分给,分完为止。当需要分配26个席位时，系别学生人数比例（%）理论的席位数（个）实际分配席位数（个）4甲13351.1513.2913乙8331.928.308丙4416.924.405总和260100.00（99.9）26.00（25.99）26当需要分配27个席位时，系别学生人数比例（%）理论的席位数（个）实际分配席位数（个）甲13351.1513.8114乙8331.928.619丙4416.924.574总和260100.00（99.9）27.00（26.99）27与四舍五入法相比，这种方法更让人信服，结果也有较说服力。上述的比例惯性模型的公平性还待考量。倘若结果是整数，那自然是公平的。但倘若出现了非整数，公平性就很难确定，例如上述分配27席位时，就丙系而言是否公平。由此，我们从判断如何分配才算公平的思考角度，提出了我们第二个模型——Q值法。5.2Q值法模型和求解5.2.1两个系的公平席位分配问题为了使该模型更加清晰易懂，我们先引入A、B两个系进行假设讨论：假设A系的总人数𝑝1人，若被分配到𝑛1个席位，则每席代表人数𝑝1𝑛1，B系的总人数𝑝2人。（一）分配公平与否的判定若被分配到𝑛1个席位，则每席代表人数𝑝2𝑛2，则我们将席位分配的公平与否定义为：若𝑝1𝑛1=𝑝2𝑛2成立，则席位分配是公平的；若𝑝1𝑛1≠𝑝2𝑛2成立，则席位分配是不公平的。5进一步说，若𝑝1𝑛1𝑝2𝑛2成立，则该席位分配方案对A不公平；若𝑝1𝑛1𝑝2𝑛2成立，则该席位分配方案对B不公平。（二）不公平程度的判定在了解了不公平的定义之后，我们就可以将不公平程度用|𝑝1𝑛1−𝑝2𝑛2|表示，即该席位分配方案对A或者B绝对不公平的程度。我们再考虑到各系的总人数，就可以得到相对的不公平度，即当𝑝1𝑛1𝑝2𝑛2成立时，则称𝑝1𝑛1−𝑝2𝑛2𝑝2𝑛2=𝑝1𝑛2𝑝2𝑛1−1=𝑟𝐴（𝑛1，𝑛2）为A的相对不公平数，记为𝑟𝐴（𝑛1，𝑛2）。简而言之，对A的相对不公平度可用公式表示：𝑟𝐴(𝑛1，𝑛2)=𝑝1𝑛2𝑝2𝑛1−1同理可得，当𝑝1𝑛2𝑝2𝑛2成立时，对B的相对不公平度可用公式表示：𝑟𝐵(𝑛2，𝑛1)=𝑝2𝑛2−𝑝1𝑛1𝑝1𝑛1=𝑝2𝑛1𝑝1𝑛2−1（三）Q值的引入A和B分别已经分配到𝑛1、𝑛1席，假设此时𝑝1𝑛1𝑝2𝑛2，即对𝐴不公平时，我们要再增加1席，分配方案有：①当𝑝1𝑛1+1𝑝2𝑛2时，席位分配给A②当𝑝1𝑛1+1𝑝2𝑛2时，计算