随机信号分析与应用期末考试卷-(3)

一、填空题（20）1、若E[X(t1)Y(t2)]mX(t1)mY(t2)，则随机过程X(t)与Y(t)（不相关、独立、正交）；若联合平稳过程X(t)、Y(t)的互功率谱密度SXY()0，则X(t)与Y(t)（不相关、独立、正交）；若fXY(x,t;y,t)fX(x,t)fY(y,t)，则X(t)、Y(t)在同一时刻（不相关、独立、正交）。2、若随机过程X(t)的相关时间为1，Y(t)的相关时间为2，2，则X(t)比1Y(t)的相关性要,X(t)的起伏特性比Y(t)的要3、两个高斯分布律的随机变量的卷积是分布律，它的均值和方差是原来两个高斯分布律的均值和方差的。4、白噪声通过理想低通系统后，功率谱密度变，相关性由变为。二、简答题：（10）1、给出功率谱密度与相关函数的关系。（5）2、给出狭义平稳随机过程和广义平稳随机过程的定义。（5）三、考虑如图所示的系统，假定X(t)、Y(t)是统计独立的广义平稳随即过程。求：（1）、根据RX()、RY()，求RZ()；（2）、根据GX()、GY()，求GZ()；X2(t)的自相关函数。四、已知X(t)是0均值的高斯过程，求Y(t)五、如图所示，若X(t)为平稳随机过程。证明Y(t)的功率谱密度为：GY()2GX()(1cos)六、有限带宽的白噪声是具有如下常数功率谱密度函数的随机过程：BBa,0()2()200G()0,其它X其中：0为中心频率，B为带宽，a为常数，求自相关函数RN()；b2七、设一随机过程X(t)，其中E[X(t)]b,R()b()通过一物理可实现系统，其X冲击响应为h(t)eatu(t)，求稳态输出Y(t)的自相关函数。)，其中Um、0为常数，而八、设随机过程X(t)Umcos(0t是在(0,2)上均匀分布的随机变量。试证：X(t)为一平稳随机过程。（10）答案：一、1、不相关正交独立2、强3、高斯4、窄二、小代数和不相关相关1、自相关函数与功率谱密度是傅立叶变换对；即有：jG()R()edXX和1G()ejdR()XX22、如果随机过程的全部统计特性在时间上平移任意时间，其值不变，则称该随机过程是侠义平稳的。如果随机过程的数学期望为一常数，且其相关函数仅与时间间隔有E[X(t)]mXRX(t1t2)，此外且均方值有界，即E[X2(t)]关，即，则称此随机RX(t1,t2)过程是广义平稳随机过程。三、解：由题意有：Z(t)X(t)Y(t)则：(1)RZ()E[Z(t)Z(t)]E[X(t)Y(t)X(t)Y(t)]E[X(t)X(tRx()RY())]E[Y(t)Y(t)](2)1jG()R()edZZjR()R()edxY11'd''d')ej''')ej''ejG(G(dxY2211'''G(')d''')d''ej()d'G(xY212(G(')d''')d''''G()xY2G(')G(')d'xY21G()*G()xY2四、解：根据公式E[X1X2X3X4]E[X1X2]E[X3X4]E[X1X3]E[X2X4]得：E[X1X4]E[X3X2]Ry()E[Y(t)Y(t)]E[X2(t)X2(t)]E[X(t)X(t)X(tE[X(t)X(t)]E[X(t)X(t)X(t)])])])]E[X(t)X(tE[X(t)X(t)]E[X(t)X(t)]E[X(t)X(t)R2(0)2R2(xx五、证明：先求出系统的冲击响应函数h(t)，h(t)(t)(tT)，则频率响应为：22jTH()1e2(1cosT)则Y(t)的功率谱密度为：2GY()H()GX()2(1cosT)GX()六、解：Ba0R()2acosdNB02Basin02B02BBasin()2sin()200Ba2cossin20七、解：根据题意，先求出系统的频率响应：jtdtH()h(t)eeatejtdt10aj而X(t)的功率谱密度为：jb2G()R()ed2()bXX故Y(t)的功率谱密度为：2GY()H()GX(())b22ba22a22相应的自相关函数为：1jR()G()edYY2b2baea22a1八、证明：由题意知：p(),02，则：2（1）、X(t)的数学期望mX(t)为2mX(t)E[X(t)]Um0cos(0t)p()dUm20cos(0t)d02（2）、相关函数RX(t1,t2)为RX(t1,t2)E[X(t1)X(t2)]U2Ecos(t)cos[(t)]m0101U212m0[coscos(20t12)]d0022U2mcos02