用全反力及摩擦角巧解力学问题

用全反力及摩擦角巧解力学问题1/6用全反力及摩擦角巧解力学问题力学问题中常涉及的平面与斜面上运动的模型，是高考经常考查的内容。在求解力的过程中常涉及力的极值计算，常规的方法为将力正交分解，列方程组计算或讨论。计算过程中有关三角函数的计算较为繁琐，若用全反力解题会是问题简洁明了。我们知道，物体之间的滑动摩擦力与弹力总是垂直且成正比，如图1所示。将支持力FN与滑动摩擦力f的合力叫做全反力，则全反力F全与支持力FN之间的夹角α=arctanNFf=arctan可知，夹角α是一个定值，这个角叫摩擦角。摩擦角只决定于动摩擦因数，即全反力的大小可变，但方向不变。一、用全反力巧解匀速直线运动状态的问题（1）平面类例：如图2所示，一物块置于水平地面上。当用于水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀变速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为（）A.1-3B.32C.2123D.231解析：两次作用力下物体都向右做匀速直线运动，两次全反力大小不同但方向相同，受力情况如图3所示，现将两次全反力F全，重力mg及拉力F矢量平移可得到如图4所示的矢量用全反力及摩擦角巧解力学问题2/6图。因∠2+∠3=60°，有∠1=30°，又因∠4=30°，则∠4+∠2+∠3=90°由题意知F1，F2相等，则F1，F2关于垂线段对称。则∠2=45°；所以全反角α=15°。既有tan又tan15°=30cos130sin可解得3-2（2）斜面类例：如图5所示，将质量为m的滑块放在倾角为θ的固体斜面上。滑块与斜面之间的动摩擦因数为。若滑块与斜面之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g，则A.将滑块由静止释放，如果tan＞，滑块将下滑B.给滑块沿斜面向下的初速度，如果tan＜，滑块将减速下滑用全反力及摩擦角巧解力学问题3/6C.用平行于斜面向上的力拉滑块向上匀速滑动，如果tan，拉力大小应是2mgsinD.用平行于斜面向下的力拉滑块向下匀速滑动，如果tan，拉力大小应为mgsin解析：若拉力沿斜面向上，对物体受力分析如图6（a）所示，滑块沿斜面向上匀速滑动，且tan，则有摩擦角，平移全反力F全，重力mg及拉力F可构成首尾相接的闭合矢量三角形，如图6（b）所示，显然F=2mgsin，选项C正确。若拉力沿斜面向下，且tan，则有摩擦角，此时全反力F全与重力mg重合在同一竖直线上，如图6（c）所示，由于滑块沿斜面向下匀速滑动，显然拉力应该为0。二、用全反力巧解匀变速直线运动状态问题（1）平面类例：如图7所示，将质量m=0.1kg的圆环套在固定的水平直杆上。环的直径略大于杆的截面直径。环与杆间动摩擦因数8.0。对环施加一位于竖直平面内斜面上，与杆夹角53的拉力F，使圆环以a=4.4m/s2的加速度沿杆运动，求F的大小用全反力及摩擦角巧解力学问题4/6本题可按下面两种情形进行分析求解情形1：当F较大时，杆对圆环的弹力向下，则有杆对圆环的全反力斜向左下，如图8（a）所示，将全反力F全，重力mg及拉力F矢量平移得到如图8（b）所示的矢量三角形。则有ma-cosxFmg-sinyF又tanyx联立以上各式并代入数据可得F=9N情形2：当F较小时，杆对圆环弹力向上，则有杆对圆环的全反力斜向左上，如图9（a）所示，将全反力F全，重力mg及拉力F矢量平移得到如图9（b）所示的矢量三角形，则有ma-cosxFsinFmgy又tanyx联立以上各式并代入数据可得F=1N（2）斜面类用全反力及摩擦角巧解力学问题5/6例：如图10所示，一质量m=0.4kg的小物块，以v0=2m/s的初速度，在于斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块又A点运动到B点，A与B之间的距离L=10m。已知斜面倾角30，物块与斜面之间的动摩擦因数33。重力加速度g取10m/s2.求1.物块加速度的大小及到达B点时速度的大小2.拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小，最小值为多少。解析：1：略2：对物体受力分析，如图11所示，可计算出摩擦角大小α=arctanNFf=arctan代入数据得α=30°根据矢量运算法则，平移全反力F全至与重力mg首尾相接，如图12所示，依题意知，外力的合力F合为一定值，所以由图12可知，只有当拉力F垂直全反力F全时取最小。用全反力及摩擦角巧解力学问题6/6因α=30°，则有∠ABC=60°，又因∠ACB=60°，可得∠ABC=60°从而有F’=mg，代入数据得F=4N则最小值Fmin=（F’+F合）sin∠BAC代入数据得Fmin=N3513