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高数三角函数变换cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB+sinAsinBsin(A−B)=sinAcosB−cosAsinBsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsinAcosB=12[sin(A+B)+sin(A−B)]sinxcosx=12sin2xsinAsinB=12[cos(A−B)−cos(A+B)]sin2x=12(1−cos2x)cosAcosB=12[cos(A−B)+cos(A+B)]cos2x=12(1+cos2x)cos2x=1−tan2x1+tan2xsin2x=2tanx1+tan2xarcsinx+arccosx=π2arctanx+arccotx=π2arctanx+arctan1x=π2圆柱体积V=πr2h圆锥体积V=13πr2h球体积V=43πr3椭圆面积S=πab抛物线y2=2px交点坐标(p2,0)准线x=−p2点到直线距离∣ax0+by0+c∣√a2+b2第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点。可去间断点：间断点处左右极限存在但不等于该点函数值。f(x0+0)=f(x0−0)≠f(x0)跳跃间断点：间断点处左右极限存在但不相等。f(x0+0)≠f(x0−0)第二类间断点：间断点处左右极限至少有一个是∞重要极限limx→0sinxx=1limx→∞(1+1x)x=elimx→0(1+x)1x=ex趋向于0时的等价无穷小sinx∼xtanx∼xarcsinx∼xarctanx∼x1−cosx∼12x2ln(1+x)∼xloga(x+1)∼xlnaex−1∼xax−1∼xlnan√1+x−1∼xn(1+bx)a−1∼abx导数公式(ax)'=axlna(logax)'=1xlna(tanx)'=sec2x(cotx)'=−csc2x(secx)'=secxtanx(cscx)'=−cscxcotx(arcsinx)'=1√1−x2(arccosx)'=−1√1−x2(arctanx)'=11+x2(arccotx)'=−11+x2[sin(ax+b)](n)=ansin(ax+b+n2π)[cos(ax+b)](n)=ancos(ax+b+n2π)(1ax+b)(n)=(−1)nann!(ax+b)n+1[ln(ax+b)](n)=(−1)n−1(n−1)!an(ax+b)n积分公式∫dx√x2±a2=ln∣x+√x2±a2∣+C∫dx√a2−x2=arcsinxa+C∫dxx2−a2=12ln∣x−ax+a∣+C∫dxx2+a2=1aarctanxa+C∫dxa2x2+b2=1abarctanaxb+c∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+c∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+c∫√a2−x2dx=a22arcsinx2+x2√a2−x2+c∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln∣x+√x2±a2∣+c∫0π2sinnxdx=∫0π2cosnxdx=(n−1)!!n!!π2(n为偶数)∫0π2sinnxdx=∫0π2cosnxdx=(n−1)!!n!!(n为奇数)∫0π2f(sinx)dx=∫0π2f(cosx)dx∫0πxf(sinx)dx=π2∫0πf(sinx)dx=π∫0π2f(sinx)dx∣∫0xf(t)dt∣≤∫0x∣f(t)∣dt∫0af(x)dx=12∫0a[f(x)+f(−x)]dx∫−aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(−x)]dxfx'(x,y),fy'(x,y)在(x0,y0)连续⇒z=f(x,y)在(x0,y0)可微⇒f(x,y)在(x0,y0)连续二重积分特点积分区域D关于x轴对称∬Df(x,y)dσ=0f为y的奇函数，即f(x,−y)=−f(x,y)∬Df(x,y)dσ=2∬D1f(x,y)dσf为y的偶函数，即f(x,−y)=f(x,y)积分区域D关于y轴对称∬Df(x,y)dσ=0f为x的奇函数，即f(−x,y)=−f(x,y)∬Df(x,y)dσ=2∬D1f(x,y)dσf为x的偶函数，即f(−x,y)=f(x,y)积分区域关于原点对称∬Df(x,y)dσ=0f为x，y的奇函数，即f(−x,−y)=−f(x,y)∬Df(x,y)dσ=2∬D1f(x,y)dσf为x，y的偶函数，即f(−x,−y)=f(x,y)函数展开式ex=1+x+12!x2+⋯+1n!xn=∑k=0nxkk!sinx=x−13!x3+15!x5−⋯+(−1)n−11(2n−1)!x2n−1=∑k=0n(−1)kx2k+1(2k+1)!cosx=1−12!x2+14!x4−⋯+(−1)n1(2n)!x2n=∑k=0n(−1)kx2k(2k)!ln(1+x)=x−12x2+13x3+⋯+(−1)n−11nxn=∑k=1n(−1)k−1xkk11+x=∑k=0n(−1)kxk11−x=∑k=0nxk多元函数极值：驻点(x0,y0)满足fx'(x0,y0)=0，fy'(x0,y0)=0且A=fxx''(x0,y0),B=fxy''(x0,y0),C=fyy''(x0,y0)B2−AC0时，(x0,y0)是极值点，A0时是最小值，A0时是最大值。B2−AC0时，(x0,y0)不是极值点。B2−AC=0时，不能判断，需要另外方法讨论。一阶线性微分方程：y'+p(x)y=q(x)公式法通解：y=e−∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dxdx+C]二阶常系数线性微分方程：y''+py'+qy=0，特征方程：r2+pr=q=0Δ=p2−4q0时，有两个相异实根r1r2，通解y=f(x)=C1er1x+C2er2xΔ=p2−4q=0时，有二重根r，通解y=f(x)=(C1+C2x)erxΔ=p2−4q0时，有共轭虚根a±iβ，通解y=f(x)=eax(C1cosβx+C2sinβx)二阶常系数非齐次微分方程：y''+py'+qy=f(x)f(x)形式特解形式f(x)=Pn(x)Pn(x)为n次多项式0不是特征根，y*=Rn(x)0是单根，y*=xRn(x)0是而重根，y*=x2Rn(x)f(x)=Meaxa≠0，M≠0a不是特征根，y*=Aeaxa是单根，y*=Axeaxa是二重根，y*=Ax2eaxf(x)=Mcosβx+NsinβxM，N不全为0，β0±iβ不是特征根，y*=Acosβx+Bsinβx±iβ是特征根，y*=x(Acosβx+Bsinβx)差分一般形：yt+1+ayt=f(t)，通解yt=C(−a)tf(x)形式特解形式f(t)=Pn(t)Pn(t)为n次多项式a+1≠0，y=Qn(t)a+1=0，y=tQn(t)f(t)=Mbta+b≠0，y=Abta+b=0，y=Atbtf(t)=Mcosβt+Nsinβty=Acosβt+Bsinβt渐近线x=a是垂直渐近线limx→af(x)=∞，必须是a左右都趋于无穷。x→+∞时，y=b是水平渐近线⇔limx→+∞f(x)=bx→+∞时，y=kx+b是斜渐近线⇔limx→+∞f(x)x=k，且limx→+∞[f(x)−kx]=b在考察水平渐近线和斜渐近线时，也要同时考察x→−∞时的情况。级数∑n=1∞Un收敛的必要条件是limn→∞Un=0若级数∑n=1∞Un收敛，任意添加括号不影响敛散性，去括号会有影响。∑n=0∞aqn，当∣q∣1时收敛，当∣q∣≥1时发散∑n=0∞1np，当p1时收敛，当p≤1时发散。正项级数审敛法之一：比较判别法∑n=1∞Un和∑n=1∞Vn为正项级数，且limx→∞VnUn=A当0A+∞时，∑n=1∞Un和∑n=1∞Vn有相同的敛散性。当A=0时，∑n=1∞Un收敛，则∑n=1∞Vn收敛；∑n=1∞Vn发散，则∑n=1∞Un发散。当A=+∞时，∑n=1∞Vn收敛，则∑n=1∞Un收敛；∑n=1∞Un发散，则∑n=1∞Vn发散。正项级数审敛法之二：比值判别法limn→∞Un+1Un=p当p1时，级数∑n=1∞Un收敛当p1时，级数∑n=1∞Un发散当p=1时，比值判别法失效交错级数∑n=1∞(−1)nUn级数审敛——莱布尼斯判别法若满足Un≥Un+1，即Un单调减少，且limn→∞Un=0，则收敛。幂级数收敛半径l=limn→∞∣an+1an∣或l=limn→∞n√anR=1l，0l+∞R=0，l=+∞R=+∞，l=0判断x=±R端点处的敛散性后，即可写出收敛域。只有anxn才可使用该方法求收敛半径，x2n等有缺次项的不能这么求收敛半径。∑n=2∞1nlnqn，当q1时收敛，当q≤1时发散线性代数A为n阶矩阵，A可逆⇔∣A∣≠0⇔r(A)=n⇔Ax=0只有零解⇔A与单位矩阵E等价⇔A的特征值全不为0⇔A的行/列向量组线性无关A是m×n矩阵，b为m维列向量，Ax=b对于任何b总有解⇔∀b∈Rm，∃常数C1,C2,⋯Cn，使(a1,a2,⋯an)(C1C2⋮Cn)=b⇔A的列向量a1,a2,⋯,an可以表示任一m维列向量⇔∃n×m矩阵B，使AB=E⇔向量组a1,a2,⋯,an与ε1=(10⋮0),ε2=(01⋮0)⋯εn=(0⋮01)等价⇔向量组秩r(a1,a2,⋯,an)=r(A)=m⇔A行向量线性无关范德蒙行列式∣111⋯1x1x2x3⋯xnx12x22x32⋯xn2⋮⋮x1n−1x2n−1x3n−1⋯xnn−1∣=∏1≤j≤i≤n(xi−xj)∣kA∣=kn∣A∣∣AB∣=∣A∣∣B∣∣A*∣=∣A∣n−1∣A−1∣=∣A∣−1(kA)*=kn−1A*A*=∣A∣A−1(A*)−1=(A−1)*=A∣A∣(A*)*=∣A∣n−2A(An)−1=(A−1)n(kA)−1=1kA−1(AB)−1=B−1A−1(A−1)T=(AT)−1(A*)T=(AT)*(kA)T=kAT(AB)T=BTAT(A+B)T=AT+BTAA*=A*=∣A∣EA=(abcd)的伴随阵A*=(d−b−ca)即主对角线互换，副对角线变号。∣A0*B∣=∣A*0B∣=∣A∣∣B∣，∣0AB*∣=∣*AB0∣=(−1)mn∣A∣∣B∣(B00C)n=(Bn00Cn)(B00C)−1=(Bn00C−1)(0BC0)−1=(0C−1B−10)r(A*)=n，若r(A)=nr(A*)=1，若r(A)=n−1r(A*)=0，若r(A)n−1A经过有限次初等变换为B，则A，B等价⇔A，B为同型矩阵m×n，且r(A)=r(B)⇔存在可逆矩阵P，Q，使A=PBQ（注意，即使AB为n阶方阵，未必有∣A∣=∣B∣）A，B是n阶矩阵，存在可逆矩阵P，使P−1AP=B，则A、B相似，A∼B⇔∣λE−A∣=∣λE−B∣，即A、B有相同的特征值⇔∑i=1naii=∑i=1nbii，即A、B有相同的迹⇔r(A)=r(B)⇔∣A∣=∣B∣A、B是n阶实对称阵，若存在可逆矩阵C，使CTAC=B，则A、B合同。记为A≃B实对称阵A∼B⇒A≃B⇔二次型xTAx与xTBx有相同的正负惯性指数⇒r(A)=r(B)A是m×n阶矩阵Ax=0有非零解⇔r(A)n。即，若mn，则必有非零解。Ax=b有唯一解⇔r(A)=r(̄A)=nAx=b有无穷解⇔r(A)=r(̄A)nAx=b无解⇔r(A)+1=r(̄A)⇔b不能由A列向量线性表出基础解系三条件1.向量组a1,a2,⋯,as是方程组的解2.向量之间线性无关3.向量个数s=n−r(A)两个向量组可以互相线性表出，则两向量组等价。若向量组（I）可由向量组（II）线性表出，且r(I)=r(II)，则（I）（II）等价。A为n阶矩阵齐次方程Ax=0非齐次方程Ax=b∣A∣≠0只有零解有唯一解∣A∣=0有非零解无解或者多解向量组a1,a2,⋯,as线性相关⇔(a1a2⋯as)(x1x2⋮xs)=0有非零解⇔r(a1,a2,⋯,as)s(即小于向量个数)⇔存在ai可有其余s-1个向量线性表出向量组a1,a2,⋯,as线性无关⇔(a1a2⋯as)(x1x2⋮xs)=0只有零解⇔r(a1,a2,⋯,as)=