2017届南通高三一模数学试卷

12017届南通高三一模考试数学试题Ⅰ一：填空题1．函数)33sin(2xy的最小正周期为_________。2．设集合}3{},5,2{},3,1{BAaBA，则BA=____________。3．复数2)21(iz，其中i为虚数单位，则z的实部为_______。4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率为___________。5．如图是一个算法流程图，则输出的n的值为__________。6．若实数yx,满足007342yxyxyx，则yxz23的最大值为______。7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________。8．如图，在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1–A1BD的体积为___________cm3。9．在平面直角坐标系xOy中，直线02yx为双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______________。10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为___________升。11．在ABC中，若CBCAABACBABC2，则CAsinsin的值为___________。12．已知两曲线)2,0(,cos)(,sin2)(xxaxgxxf相交于点P。若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为______________。13．已知函数|4|||)(xxxf，则不等式)()2(2xfxf的解集用区间表示为__________。结束↓开始↓a←1↑a16↓输出nYN→n←1↓n←n+2a←3a+2学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070ABCDD1C1B1A1214．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆422yx上两点，点)1,1(A，且ACAB，则线段BC的长的取值范围是_____________。二：解答题15．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角，其终边与单位圆交于点A，以OA为始边作锐角，其终边与单位圆交于点B，552AB。（1）求cos的值；（2）若点A的横坐标为135，求点B的坐标。16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P–ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC、BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD。求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD。ABOxyCABDPOE317．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆)0(12222babyax的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线2y于点Q，求2211OQOP的值；18．（本题满分16分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪。已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪。（1）当4EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由。OPQxy2ABFDCEMNP419．（本题满分16分）已知函数Raxxaxxf,ln)(2。（1）当83a时，求函数)(xf的最小值；（2）若01a，证明：函数)(xf有且只有一个零点；（3）若函数)(xf又两个零点，求实数a的取值范围。20．（本题满分16分）已知等差数列}{na的公差d不为0，且)(,,,,2121nkkkkkkaaan成等比数列，公比为q。（1）若8,3,1321kkk，求da1的值；（2）当da1为何值时，数列}{nk为等比数列；（3）若数列}{nk为等比数列，且对于任意*Nn，不等式nknkaan2恒成立，求1a的取值范围。52016-2017学年度高三第二学期期初摸底考试数学试题Ⅰ参考答案一：填空题1．322．}5,3,1{3．34．0.175．56．77．208．239．510．221311．212．33213．),2()2,(14．]26,26[二：解答题15.解（1）在AOB中，由余弦定理得：AOBOBOAOBOAABcos2222，所以OBOAABOBOAAOB2cos222…………………………………………2分53112)552(112，即53cos；…………………………………………6分（2）因为53cos，且为锐角，所以54)53(1cos1sin22，……8分因为点A的横坐标为135，由三角函数定义可得：135cos，因为为锐角，所以1312)135(1cos1sin22，…………………………10分所以653354131253135sinsincoscos)cos(，…………12分655654135531312sincoscossin)sin(，所以点)6556,6533(B。……………………………………………………………………14分16.证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点，又E为PC的中点，所以OE//PA，………………4分因为OE平面BDE，PA平面BDE，所以直线PA//平面BDE；…………………………6分（2）因为OE//PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD，……8分因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC，……10分又PC∩PD=P，PD平面PCD，PC平面PCD，所以OE⊥平面PCD，………………………………12分因为OE平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD。………………………………14分17.解：（1）由题意得：2222,1,22cbaccaac，………………2分解得：1,1,2bca，所以椭圆的标准方程为1222yx；……4分（2）由题意知OP的斜率存在，当OP的斜率为0时，2,2OQOP，所以2211OQOP=1，……6分ABCDPOE6当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为kxy，由kxyyx1222得：2)12(22xk，解得：12222kx，所以122222kky，所以1222222kkOP，…………………………………………………………9分因为OQOP，所以直线OQ的方程为xky1，由xkyy12得：kx2，所以2222kOQ，……………………12分所以2211OQOP=12212212222kkk，综上，可知2211OQOP=1.………………………………………………14分18.解：（1）当4EFP时，4FEPEFDEFP，所以2FPE，即BCFN，所以四边形MNPE为矩形，………………3分所以四边形MNPE的面积为22mMNPNS；…………………………5分（2）设)2,0(,EFD，由条件知：FEPEFDEFP，2sin2)2sin(2PF，2sin23PFNFNP，tan23ME，……8分由200tan2302sin23得：2032tan322sin，所以2032tan32tan1tan22解得：253tan32，所以四边形MNPE的面积为2)]tan23()2sin23[(21)(21MNMEPNS)2sin2tan2(6………………………………………………………………12分326)tan3(tan6)tan2tan1tan2(62当且仅当tan3tan，即)253,32(3tan，3时取“=”……14分答：当3EFP时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，为326。…16分719.解：（1）当83a时，xxxxfln83)(2，所以)0(,4)2)(23(1143)(xxxxxxxf，…………………………2分令)(xf=0，得2x，当)2,0(x时，)(xf0，当),2(x时，)(xf0，所以函数)(xf在)2,0(上单调递减，在),2(上单调递增，所以当2x时，)(xf有最小值2ln21)2(f；…………………………4分（2）由Raxxaxxf,ln)(2，得：)0(,12112)(2xxxaxxaxxf所以当0a时，012)(2xxaxxf，函数)(xf在),0(上单调递减，所以当0a时，函数)(xf在),0(上最多有一个零点，……………………6分又当01a时，0)1(,01)1(22eaeeefaf，所以当01a时，函数)(xf在),0(上有零点，综上，当01a时，函数)(xf有且只有一个零点；……………………8分（3）由（2）知：当0a时，函数)(xf在),0(上最多有一个零点，因为函数)(xf有两个零点，所以0a，……………………………………9分由Raxxaxxf,ln)(2，得：)0(,12112)(2xxxaxxaxxf令12)(2xaxxg，因为02,01)0(ag，所以函数)(xg在),0(上有且只有一个零点，设为0x，当),0(0xx时，)(xg0，)(xf0，当时),(0xx，)(xg0，)(xf0，所以函数)(xf在),0(0x上单调递减，在),(0x上单调递增，要使得函数)(xf在),0(上有两个零点，只需要函数)(xf的最小值0)(0xf，即0ln0020xxax，又因为012)(0200xaxxg，消去a得：01ln200xx，又因为1ln2)(xxxh在),0(上单调递增，且0)1(h，所以0x1，则1100x，因为012020xax，所以41)211(1)1(220020xxxa，所以2a在)1,0(上单调递增，所以10a，………………………………………13分以下验证当10a时，函数)(xf有两个零点。当10a时，01112)1(2aaaaaag，所以ax110，因为011)1(222eaeeeeaef，且0)(0xf，所以函数)(xf在),1(0xe上有一个零点，又因为01)12(22ln24)2(2aaaaaaaf（因为1lnxx），且0)(0xf，所以函数)(xf在)2,(0ax上有一个零点，8所以当10a时，函数)(xf在)2,1(ae上有两个零点。综上，实数a的取值范围是)1,0(。…………………………………………16分（注：1lnxx的证明过程，同学不妨自己证明书写）20.解：（1）由已知可得：831,,aaa成等比数列，所以)7()2(1121daada，…2分整理得：dad1234，因为0d，所以341da；………………………………4分（2）设数列}{nk为等比数列，则31