频率与概率、古典概型课程教案

概率论与数理统计教案[56学时第一章（2）]主讲教师：邱红兵第1页共10页频率与概率、古典概型课程教案授课类型理论课授课时间2节基本内容1、频率2、概率的统计定义，3、概率的公理化定义4、概率的性质5、古典概型教学要求1、了解频率概念2、理解概率的统计定义、公理化定义3、会计算古典概率4、熟练掌握概率的性质（加法公式，减法公式）教学重点1、古典概率的计算2、利用概率的性质计算相关概率教学难点1、古典概率的计算2、利用概率的性质计算相关概率习题作业P324，6，9，11备注教学过程§3频率与概率随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生，但多次重复时，会发现有的事件发生多些，有的少些，这数量上的区别反映了随机事件的内在的一种规律。我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大？怎样来刻划事件发生的可能性大小呢？我们希望找一个合适的数来表征事件在一次试验中发生的可能性大小。概率论与数理统计教案[56学时第一章（2）]主讲教师：邱红兵第2页共10页为此，我们先引入频率（描述事件发生的频繁程度），进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数：概率。一、频率(Frequency)1、定义设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，An表示事件A在这n次试验中出现的次数（称为频数）。比值nnAfAn)(称为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency)。２、频率的性质（１）非负性：1)(0Afn（２）规范性：1)(Sfn（３）有限可加性:若事件kAAA,,,21两两互不相容，则)()()()(2121knnnknAfAfAfAAAf３、频率的稳定性实践证明：当试验次数n增大时,随机事件的频率)(Afn逐渐趋向稳定。实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率.历史上的掷硬币试验数据波动较大试验序号5nAnf12345672315124Anf50n22252125241827An500n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502表表明明：：随随着着nn的的增增加加，，事事件件的的频频率率将将呈呈现现出出稳稳定定性性,,稳稳定定于于00..55。。波动最小0.5n=50n=500f5(A)f50(A)f500(A)n=5概率论与数理统计教案[56学时第一章（2）]主讲教师：邱红兵第3页共10页试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.499821)(Afn4、概率的统计定义设有随机试验E，若当试验的次数充分大时，事件A发生的频率稳定在某数p附近摆动，则称数p为事件A发生的概率(Probability)，记为：pAP)(5、概率的统计定义的几点说明(1)频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决定于经验.一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构,指试验条件,是先于试验而客观存在的.(2)概率的统计定义只是描述性的。(3)通常只能在充分大时，事件出现的频率才作为事件概率的近似值。二、概率的公理化定义1、定义设E是随机试验，S为它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(A)满足下列条件：（1）非负性：对任一事件A,有1)(0AP（2）规范性：对必然事件S,有1)(SP（3）可列有限可加性:若,,21AA两两不相容，则有)()()(2121APAPAAP2、概率的性质（1）0)(P（2）有限可加性：若nAAA,,,21两两不相容，则有)()()()(2121nnAPAPAPAAAP（3）若BA，则有)()()(APBPABP，且有)()(APBP（4）减法公式：对任意两事件A，B，有)()()()(ABPBPABPABP.概率论与数理统计教案[56学时第一章（2）]主讲教师：邱红兵第4页共10页（5）1)(0AP.（6）)(1)(APAP.（7）加法公式：对任意两个事件BA,，有)()()()(ABPBPAPBAP.（8）加法公式的推广（三个的情形）)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP（9）加法公式的推广（任意n个的情形）：设nAAA,,,21是任意n个事件，则有njijiniinAAPAPAAAP1121)()()(1121()(1)()nijknijknPAAAPAAA例1已知6.0)(,3.0)(,4.0)(BAPBPAP，试求)(BAP。解：（法一）由事件的运算关系，知ABABABA，由AAB，有)()()()(ABPAPABAPBAP，利用)()()()(ABPBPAPBAP有于是3.01.04.0)()()(ABPAPBAP（法二）由事件的运算关系，知AABBA，故有)()()(APABPBAP，从而3.01.04.0)()()(ABPAPBAP例2（92）已知161)()(,0)(,41)()()(BCPACPABPCPBPAP，求事件CBA,,全不发生的概率。解：所求概率)(1)(1)(CBAPCBAPCBAP，又)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP8501611610414141从而所求概率83)(CBAP。例3（94）已知BA,是两个事件，满足条件)()(BAPABP，且pAP)(，则)(BP概率论与数理统计教案[56学时第一章（2）]主讲教师：邱红兵第5页共10页解：)()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP由)()(BAPABP，有1)()(BPAP，于是pAPBP1)(1)(例4设BA,是任意两个事件，则)})()()({(BABABABAP例5设BA,是两个事件，且0)(ABP，则（A）A与B互斥（B）AB是不可能事件（C）AB未必是不可能事件（D）0)(AP或0)(BP例6设BA,是两个事件，则一定有（A）1)(BAP（B）0)(BAP（C）1)(0BAP（D）)(1)(ABPBAP§4等可能概型（古典概型）一、等可能概型例E1.抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。E2.掷一颗骰子，观察出现的点数。共同特点：（1）每次试验只有有限个结果；（2）每个结果出现的可能性相同。定义：如果一个随机试验E具有以下特征1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点：},,,{21nS2、每个样本点出现的可能性相同：)()()({21nPPP则称具有上述特性的概型为古典概型（等可能概型）。讨论相应的概率问题称为古典概型问题。古典概型中事件概率的计算：几点说明：1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.2、“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点的出现是等可能的.例1将一枚硬币上抛三次，设事件A=“恰有一次出现正面”，B=“至少有一次出现正面”，求A，B的概率。解样本空间为S={(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)}于是8/3)(AP，8/7)(BP中的样本点数中所含的样本点数SAnkAP)(试验的基本事件总数的有利场合数A概率论与数理统计教案[56学时第一章（2）]主讲教师：邱红兵第6页共10页例2一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各册自右至左或自左至右恰成1,2,3,4顺序的概率是多少？解：四卷书放在书架上总共有1234n种排法，A的有利场合数（A包含的样本点数）为2，于是121!42)(AP例3一口袋装有6只球,其中4只白球,2只红球.从袋中取球两次,每次随机地取一只.考虑两种取球方式：(a)放回抽样:第一次取一只,观其颜色后放回,搅匀后再取一只.(b)不放回抽样:第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球.试分别就上面两种情况求:（1）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解：设A{取到的两只球都是白球}B={取到的两只球都是红球}C={取到的两球中至少有一只白球}D={取到的两只球颜色相同}则显然有BCBAD,（a）放回抽样：从袋中任取两球，总的取法为3666取到的两只球都是白球的取法为1644取到的两只球都是红球的取法为422于是4/136/16)(AP，9/136/4)(BP，又因AB，从而有9/5)()()()(BPAPBAPDP，9/8)(1)()(BPBPCP（b）不放回抽样：从袋中任取两球，总的取法为3056取到的两只球都是白球的取法为1234取到的两只球都是红球的取法为212于是5/230/12)(AP，15/130/2)(BP，又因AB，从而有15/7)()()()(BPAPBAPDP，15/14)(1)()(BPBPCP例4有10个外观相同的电阻，其电阻分别是1欧、2欧、…10欧.现从中任意取出3个，希望一个电阻值小于5欧，一个等于5欧,一个大于5欧，问一次抽取就能达到要求的概率.解：样本点为从10个不同电阻中任取三个的组合，样本空间总数为310n。下面计算有利场合数。构成一个有利场合可分三个步骤：概率论与数理统计教案[56学时第一章（2）]主讲教师：邱红兵第7页共10页第一步，从小于5欧的电阻值中任取出一个，有14种取法；第二步，从等于5欧的电阻值中任取出一个，有1种取法；第三步，从大于5欧的电阻值中任取出一个，有15种取法。有利场合总数为151114，于是61310151114)(AP例5将r个球置于n个箱中（每个球以1/n的概率被置入某一特定箱中）,若n≥r,试求任一箱内的球数均不超过1的概率。解：先计算样本空间总数：第一个球置于一箱中，共有n种放法；相继将每一个球置于一箱中都有n种放法；这样放完r个球构成一个可能的结果（样本点），由乘法原理，r个球的不同的放法有rnnnn再计算有利场合数：第一个球置于一箱中，共有n种放法;第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有n-1种放法；……第r个球不能放到前r-1个球所在箱，所以只有n-r+1种放法有利场合数为rnArnnn)1()1(，于是)!(!)(rnnnnAAPrrrn许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：1、有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n(n≤365)个人没有两个人的生日相同（n人生日互不相同）的概率.)!(!)(rnnnnAAPrrrn)!365(365!365nn，当40n时，109.0P2、有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N≥n)，求指定的n个站各有一人下车的概率.)!(!)(rnnnnAAPrrrn任一天人旅客车站概率论与数理统计教案[56学时第一章（2）]主讲教师：邱红兵第8页共10页)!(!)(nNNNNAAPnnnN3、某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车