情境导入某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园,要使公园到三条公路的距离相等。如果你是设计师,你会如何修建呢?学习目标1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点且这一点到三条边的距离相等;2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用温故知新如图,∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,(已知)∴_______________CBAPDEOPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)温故知新如图,∵PD=PE且PD⊥OA,PE⊥OB,(已知)_______________CBAPDEO∴OC是∠AOB的平分线(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.)剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.结论:三角形三个角的平分线相交于一点.利用尺规作出三角形三个角的角平分线.探究新知如何证三条角平分线交于一点?思考分析基本思路:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.如何证三条直线交于一点?证明:过P点作PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,又∵BM是△ABC的角平分线,∴点P在∠BAC的平分线上∴△ABC的三条角平分线相交于点P.DEFMNCBAP证明:三角形三条角平分线相交于一点.已知:如图,设△ABC的角平分线.BM、CN相交于点P,求证:P点在∠BAC的角平分线上.例1∴PD=PE同理:PE=PF.∴PD=PF.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.ABCPMNDEF∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PFH例2如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.EDABC课堂练习1.已知:如图,∠C=900,∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.ABCD挑战自我2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE的平分线上.ABCFDE证明∵∠C=90°∴∠B=30°∴Rt△ABC中,AB=2BC,∠BAC=60°∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD=∠DAC=30°,AD=BD∴Rt△ACD中,AD=2CD∴BD=2CD证明:∵BF是∠CBD的角平分线∴F到BC,AD的距离相等∵BF是∠CBD的角平分线∴F到BC,AE的距离相等∴F到AD,AE的距离相等从而点F在∠DAE的平分线上.情境导入某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园,要使公园到三条公路的距离相等。如果你是设计师,你会如何修建呢?1.如图:直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有几处?l3l21lCBA通过本节课你学到了什么?3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一个点,并且PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.BAPDCO证明(1)∵P为P是∠AOB平分线上的一个点PC⊥OA,PD⊥OB∴PC=PDRt△POC和Rt△POD∵OP=OPRt△POC≌Rt△POD∴OC=OD(2)由PC=PD得P在CD的垂直平分线上由OC=OD得O在CD的垂直平分线上∴OP是CD的垂直平分线.2.比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点直角三角形交于斜边的中点钝角三角形交于三角形外一点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等1、已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N.求证:FE=FD.连接BF,由题意易知BF即为∠ABC的平分线,则FM=FN,在Rt△ABC中,∵∠B=60°,∴∠BAC=30°.∴∠DAB=∠BAC=15°.解:12∴∠FDN=∠DAB+∠B=75°,∠FEM=∠BAC+∠ACE=30°+∠ACB=30°+45°=75°.∴∠FEM=∠FDN.在△FEM与△FDN中,∴△FEM≌△FDN.∴FE=FD.12FEMFDNEMFDNFFMFN=,=,=,例2如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?ABC老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点,这个的点叫做三角形的旁心,这样点有三个。课堂练习互动新授结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于:条理清晰,因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.