线性代数-矩阵定义和基本运算

第一章：矩阵1.矩阵的概念2.矩阵的运算3.方阵的行列式及其性质4.初等变换与矩阵的秩5.初等矩阵与逆矩阵6.分块矩阵1第一章矩阵的概念－－实际问题的表示－－实际问题的表示•例1：四个城市A,B,C,D之间的航线如图所示：ABCD通常可以用一个数表来表示上述航线情况：进港ABCDABCD0111100000011010出港煤矿电厂铁路煤（煤矿）电（电厂）运费（铁路）00.60.50.30.10.10.20.10以上两个数表具有共同形式，把数抽出按照原来顺序得到一个新的数学对象.例2：一个煤矿、一个发电厂和一条铁路互相之间的消耗可以用下面的数表表示：•例3线性方程组的系数表示⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111系数排成一个矩形数表⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛mnmmnnaaaaaaaaa212222111211这就是矩阵由m×n个数按一定的次序排成的m行n列的矩形数表称为m×n矩阵,简称矩阵.横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列，m为行数，n为列数ija为矩阵第i行j列的元素.元素为实数的称为实矩阵,我们只讨论实矩阵.矩阵的表示：大写字母A、B、C等。例如⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211简记为nmijaA×=)()(11211naaa⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛12111maaa行矩阵列矩阵脚标⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=×nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为方阵。主对角线矩阵的应用—方便表示1.坐标变换－－线性函数例1在平面上建立直角坐标系.(1)将平面上每个点P绕原点向逆时针方向旋转角α到点P'.写出点P的坐标(x,y)与点P'的坐标(x',y')之间的函数关系式.•解设原点O到P的距离|OP|=r,由射线OX(即x轴正方向)到OP所成的角则|OP'|=|OP|=r,x=rcosθ,y=rsinθ.•x'=rcos(θ+α)•=rcosθcosα-rsinθsinα•=xcosα-ysinα•y'=rsin(θ+α)•=rcosθsinα+rsinθcosα•=xsinα+ycosα•即2.二次曲线•例2一般方程为•按x，y，1顺序可以写成矩阵形式222220axbxycydxeyf+++++=abdbcedef⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠几种特殊形式的矩阵11nnaa⎛⎞⎜⎟Λ=⎜⎟⎝⎠注：0000mnO×⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎝⎠1223OO1.零阵××≠2.对角阵记：1122{,,,}nndiagaaaΛ=kAk⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎝⎠{,,,}11nE⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎝⎠4.单位阵3.数量阵记：记：Adiagkkk={1,1,,1}nEdiag=11121222nnnnaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠5.三角阵上三角阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nnnnaaaaaa21222111下三角阵6.梯形阵设nmijaA×=)(0若当ij时(ij)时,恒有=ija它们统称为梯形阵且各行中第一个（最后一个)非零元素前(后)面零元素的个数随行数增大而增多(减少),称为上(下)梯形矩阵.简称为上(下)梯形阵.10000960001230052330⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛002200010000⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛000000870054321⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛100009800012210312075下阶梯矩阵上阶梯阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛00000004320060500001⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛000010032112344它们是梯形阵吗?不是!请你记住梯形阵的特点,尊重梯形阵的定义.梯形阵是最常用的矩阵!矩阵的运算一、线性运算1.相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列数,且对应元素相等.即()nmijaA×=()nmijbB×==形式相同ijijba=对应元素相等例1设求：()()12234xyzwxyzw++=−−,,,xyzw2.加、减法()nmijaA×=()nmijbB×=设矩阵与定义nmijijbaBA×+=+)(nmijijbaBA×−=−)(负矩阵()nmijaA×=的负矩阵为记作-A,即()nmijaA×−=−()nmija×−显然A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)A+O=O+A=AA+(-A)=(-A)+A=O3.数乘运算⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛mnmmnnkakakakakakakakaka212222111211称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kA=kA1=kA1−=kA−AA=1OoA=kBkABAklAkAAlkAkllAk+=++=+=)(,)(,)()(结论：矩阵与数的线性结构相似矩阵的乘法{3132121111xaxaxay++=3232221212xaxaxay++=⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx与232132212121113113211211111)()(tbababatbababay+++++=232232222122113123212211212)()(tbababatbababay+++++=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=232221131211aaaaaaA⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=323122211211bbbbbbB⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++++++322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛232221131211aaaaaa⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛323122211211bbbbbb()ijCc===引入求和记号∑121ninixxxx==+++∑1njjx==∑11mnijija==∑∑11nmijjia===∑∑双重求和号连写可以交换顺序一般地，有12()ijiiiscaaa=nsijbB×=)(⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛sjjjbbb21smijaA×=)(sjisjijiijbababac+++=2211ABC=则nmijc×=)(31ijikkjkcab==∑(,1,2)ij=1sikkjkab==∑nssmnmBAC×××=如果m＝1，n＝1时AB=12(,,,)saaa12sbbb⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠1siiiab==∑BA=12sbbb⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠12(,,,)saaa()ijssc×=ijba=一个数，一般不写为矩阵S阶方阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1111,11111BA：例0⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2222BA=OBAAB≠显然=AB这正是矩阵与数的不同几个例题⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1101,1241,63422CBA：例⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=6946,6946ACABACAB=⇒CB≠但是这又是矩阵与数的不同请记住：1.矩阵乘法不满足交换率；2.不满足消去率；3.有非零的零因子。nnmnmmEAAAEkBABkAABkCABAACBACABCBABCACAB××====+=++=+=.4)()()(.3)()(.2)().(1BAABBA=则为同阶方阵设,,.5AB=BA=请特别注意性质5,如果不是同阶方阵结果不成立.成立吗mnnmmnnmBABA××××=不成立!性质的证明:定义，矩阵相等条件例前面线性方程组可以转化为矩阵的一次方程求解问题.令得到矩阵形式111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠12nxxXx⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠12mbbbb⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠AXb矩阵乘法的应用=方阵的正整数次幂AAAAk=EA=0lklkAAA=+kkkBAAB=)(成立的条件?kkkBAAB≠)(那么有关的因式分解成立AB=BA如果AB=BA问题222()2ABAABB+=++1111()nnnnnnnnABACABCABB−−−+=+++例设求：12,3A⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎝⎠111,23BCAB⎛⎞==⎜⎟⎝⎠nC124301111000,01001010A⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦221100111.10000211⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A则A2表示从i市经一次中转到j市的单向航线的条数构成的矩阵.又如可换矩阵设A、B均为n阶方阵，若AB=BA，则称是可换的.例设解由于AB=BA，即12,.1132abAB⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦若矩阵A与B可交换，求a,b的值.1212,11323211abab⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故a=8,b=6.642,3254abababab+++−⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦即6,42,35,24.aabbabab+=+⎧⎪+=−⎪⎨−=⎪⎪−=⎩亦即方阵的多项式若为x的多项式1110()mmmmfxaxaxaxa−−=+++1110()mmmmnfAaAaAaAaE−−=+++nnA×则为A的多项式显然如果1110()ssssngAbAbAbAbE−−=+++()()()()fAgAgAfA=？例()210,()2111Afxx.x==−+则().fAO=T212221212111212222111211AaaaaaaaaaaaaaaaaaaAmnnnmmmnmmnn=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=转置矩阵的转置()nmijaA×=()mnjia×=TAA′或TTTTTTTkAkABABAAA=+=+=)()()(()TAB=TTBA12()TmAAA=21TTTmAAA请牢记：结论和证明()smijaA×=()nsijbB×=()nmijcABC×==mnijTTdAB×=)(()msjiTaA×=()snjiTbB×=sijsijijjibababac+++=2211jssijijiijabababd+++=2211jic=ijd也就是TTTABAB=)(TTTTABCABC=)(?11=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=ΛTnnTaaΛjicijd=对称阵与反对称阵:TAA=对称阵:TAA=−反对称阵TTTAAAAAA+,,TAA−22TTAAAAA−++=任一方阵都可以分解成对称阵与反对称阵的和.奇数阶反对称阵的行列式为零.jiijaa=0=−=iijiijaaa且?068602820=−−−0例1:设矩阵A与B为同阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件为AB=BA.证：:⇒TAB)(∵AB=TTTABAB=)(又BA=BAAB=⇒⎭⎬⎫:⇐BAAB=∵TTTABAB=∴)(BA=AB=为对称阵。AB⇒例2：设求112103231A⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎝⎠101021114B⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎝⎠,AB()TAB例1：求矩阵的幂?=nA⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=ϕϕϕϕcossinsincosA34104313379AB⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎝⎠343()43710139TAB⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎝⎠对称矩阵的乘积不一定对称以上为矩阵的定义和基本运算，下面给出该部分几个典型例题⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=ϕϕϕϕϕϕϕϕ2222sincoscossin2cossin2sincos⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=ϕϕϕϕ2cos2sin2sin2cos⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=ϕϕϕϕϕϕϕϕcossinsincoscossinsincos2A⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−=−ϕϕϕϕ)1cos()1sin()1sin()1cos(1nnnnAn设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−==−ϕϕϕϕϕϕϕϕcossinsincos)1cos()1sin()1sin()1cos(1nnnnAAAnn则尝试提出假设,给出通式⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=ϕϕϕϕnnnncossins