（9）二元一次方程的整数解

（9）二元一次方程的整数解【知识精读】1，二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解显然a,b互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,　5x-2y=7,　9x+3y=6都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。2，二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x==(1),5111yyyyy2515101设是整数），则y=1-5k(2),　　kky(51把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是（k是整数）kykx51211方法二，公式法：设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）00yyxxakyybkxx003，求二元一次方程的正整数解：①出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值②用观察法直接写出。【分类解析】例1求方程5x－9y=18整数解的能通解解x=53235310155918yyyyy设（k为整数），y=3－5k,　代入得x=9－9kky53∴原方程整数解是　（k为整数）kykx5399又解：当x=o时，y=－2，∴方程有一个整数解它的通解是（k为整数）20yxkyyx5290　　从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例2，求方程5x+6y=100的正整数解解：x=(1)，52056100yyy设(k为整数)，则y=5k,(2)ky5把（2）代入（1）得x=20-6k，∵　解不等式组00yx050620kk得0＜k,k的整数解是1，2，3，620∴正整数解是514yx108yx152yx例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得3x+5y=38　（x,y都是正整数）∵x＝1时，y=7，∴是一个整数解71yx∴通解是（k为整数）kykx3751解不等式组得解集是　　∴整数k=0，1，2037051kk3751k把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解71yx46yx111yx答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。【实战模拟】，1，求下列方程的整数解①公式法：x+7y=4,5x-11y=3②整除法：3x+10y=1,11x+3y=42,　求方程的正整数解：①5x+7y=87,　　　②5x+3y=1103，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4，兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。5，下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）①4x＋2y=11,②10x-5y=70,③9x+3y=111,④18x-9y=98,⑤91x-13y=169,⑥120x+121y=324.6,　一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？7．　用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：y=14－2x=371y练习91.公式法①由特解得通解（k为整数）04yxkykx074　　　　　②由特解得通解（为k整数）25yxkykx52115整除法①∵x==-3y,……∴通解是（k为整数）3101y31ykykx31310②通解是（k为整数）kykx115132.①②　－……11669112yxyxyxkykx503220322＜＜k3.　有6种截法345乙＝甲＝2810乙＝甲＝2215乙＝甲＝1620乙＝甲＝1025乙＝甲＝519乙＝甲＝4.　16，13　　　5.　A，D.　　6.　12　　　7.（略）