圆锥曲线测试题(有答案)

圆锥曲线测试题1．过椭圆2241xy的一个焦点1F的直线与椭圆交于,AB两点，则A与B和椭圆的另一个焦点2F构成的2ABF的周长为（）A.2B.4C.8D.222．已知，是椭圆：的两个焦点，在上满足的点的个数为（）A.B.C.D.无数个3．已知双曲线22221xyab（0a，0b）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A.1,2B.1,2C.2,D.2,4．已知抛物线22ypx与直线40axy相交于,AB两点，其中A点的坐标是1,2，如果抛物线的焦点为F，那么FBFA等于（）A.5B.6C.35D.75．设12,FF是椭圆22221(0)xyabab的左右焦点，过12,FF作x轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为（）A.312B.512C.22D.326．设椭圆22162xy和双曲线2213xy的公共焦点为12,FF，P是两曲线的一个公共点，则12cosFPF的值等于（）A.13B.14C.19D.357．已知双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点分别为12,FF，以12FF为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为1,2，则此双曲线为（）A.2214xyB.2214yxC.2212xyD.2212yx8．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点2,3的抛物线方程是（）A.294yxB.243xyC.294yx或243xyD.292yx或243xy9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线2:8Cyx的焦点重合，,AB是C的准线与E的两个交点，则AB=（）A.3B.6C.9D.1210．已知1F，2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且1223FPF，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是（）A.1，B.01，C.(0,2)D.2,11．已知抛物线C：24yx的焦点为F，过点F且倾斜角为3的直线交曲线C于A，B两点，则弦AB的中点到y轴的距离为（）A.163B.133C.83D.5312．已知双曲线222:14xyCa的一条渐近线方程为230xy，1F，2F分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且16.5PF，则2PF等于（）．A.0.5B.12.5C.4或10D.0.5或12.513．已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的2倍，且过点3,0P，则椭圆的方程为__________．14．若抛物线y2＝2px(p0)的焦点也是双曲线x2－y2＝8的一个焦点，则p＝______．15．已知抛物线的方程为22(0)ypxp，O为坐标原点，A，B为抛物线上的点，若OAB为等边三角形，且面积为483，则p的值为__________．16．若,AB分别是椭圆22:1(1)xEymm短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于,AB的任意一点，若直线AP与直线BP的斜率之积为4m，则椭圆E的离心率为__________．17．已知双曲线C和椭圆22141xy有公共的焦点，且离心率为3．（Ⅰ）求双曲线C的方程．（Ⅱ）经过点2,1M作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．18．已知抛物线2:2(03)Cypxp的焦点为F，点,22Qm在抛物线C上，且3QF。（Ⅰ）求抛物线C的标准方程及实数m的值；（Ⅱ）直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于,AB两点，若AOB（O为坐标原点）的面积为4，求直线l的方程.19．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点分别为1F，2F，离心率为22，且过点2,2．（1）求椭圆C的标准方程．（2）M、N、P、Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点1F，2F，且这条直线互相垂直，求证：11MNPQ为定值．20．椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，12MF.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆上的动点，且点P与点A，B不重合，直线PA与直线3x相交于点S，直线PB与直线3x相交于点T，求证：以线段ST为直径的圆恒过定点.21．已知圆22:22100Cxyx点20A，,P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线I和半径CP相交于点Q。（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）直线2ykx与点Q的轨迹交于不同两点A和B，且1OAOB（其中O为坐标k的值.22．已知直线240xy与抛物线212yx相交于,AB两点（A在B上方）,O是坐标原点。（Ⅰ）求抛物线在A点处的切线方程；（Ⅱ）试在抛物线的曲线AOB上求一点P,使ABP的面积最大.参考答案1．B2．B3．C4．D5．B6．A7．B8．D9．B10．A11．D12．D13．2219xy或221981xy14．815．2解设11,Bxy，22,Axy，∵OAOB，∴22221122xyxy．又2112ypx，2222ypx，∴22212120xxpxx，即211220xxxxp．又1x、2x与p同号，∴1220xxp．∴210xx，即12xx．根据抛物线对称性可知点B，A关于x轴对称，由OAB为等边三角形，不妨设直线OB的方程为33yx，由23{32yxypx，解得6,23Bpp，∴2262343OBppp。∵OAB的面积为483，∴23434834p，解得24p，∴2p．16．2217．解：（I）由题意得椭圆22141xy的焦点为3,0F，23,0F，设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，则2223cab，∵3cea∴3ca，∴2233ca，解得21a，∴22b，∴双曲线方程为2212yx．（II）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为12ykx，即21ykx。由2221{12ykxyx消去x整理得22222244430kxkkxkk，∵直线l与双曲线交于A，B两点，∴2222220{24424430kkkkkk，解得22k。设11,Axy，22,Bxy,则2122422kkxxk，又2,1M为AB的中点∴224242kkk，解得4k．满足条件。∴直线421lyx的方程为，即47yx.18．解：（Ⅰ）因为抛物线C过点,22Qm，28pm又因为3QF，32pm，03p，解得：2,2pm24yx，2m；（Ⅱ）24yx的焦点1,0F，设所求的直线方程为：1xmy由21{4xmyyx，消去x得：2440ymy因为直线l与抛物线C交于,AB两点，216160m，设1122,,,AxyBxy，12124{4yymyy，2212121241616yyyyyym所以AOB的面积为212111616422OFyym，解得：23,3mm，所以所求直线l的方程为：31xy.19．解：（1）∵22cea，∴222222112baceaa，∴222ab，∴椭圆C的方程为222212xybb，又点2,2在椭圆上，∴22222212bb（）解得24b，∴28a，∴椭圆C的方程为22184xy．（2）由（1）得椭圆C的焦点坐标为12,0F，22,0F，①当直线MN的斜率为0时，则42,?22MNPQ,∴11113284222MNPQ.②当直线MN的斜率为0时，设其2ykx方程为，由直线MN与PQ互相垂直，可得直线12PQyxk的方程为，由222{184ykxxy消去y整理得2222218880kxkxk，设11,Mxy，22,Nxy，则2122821kxxk，21228821kxxk，∴222121224211421kMNkxxxxk，同理224212kPQk，∴2222221121233328421421421kkkMNPQkkk．综上可得11328MNPQ为定值。20解：（1）解：32cea因为，又212bMFa，联立解得：21ab，，所以椭圆C的标准方程为22141xy.（2）证明：设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为2ykx，联立3x得35Sk，.00Pxy设，，代入椭圆的方程有：220001241xyx，整理得：2200144yx，故2020144yx，又002ykx，002ykx(kk，分别为直线PA，PB的斜率)，所以2020144ykkx，所以直线PB的方程为：124yxk，联立3x得134Tk，，所以以ST为直径的圆的方程为：222515132828kkxykk，令0y，解得：532x，所以以线段ST为直径的圆恒过定点5302，.21．解：（I）配方，圆222:223Cxy由条件，QCQACPCA，故点Q的轨迹是椭圆，3,2,1acb，椭圆的方程为2213xy（II）将2ykx代入2213xy得22136230kxkx（）.由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130,{62121312310.kkkk即213k.设,,,AABBAxyBxy，则22623,1313ABABkxxxxkk.由1OAOB,得2ABABxxyy.而22(2122ABABABABABABxxyyxxkxkxkxxkxx）2222236253122131331kkkkkkk.于是2253131kk.解得63k.故k的值为63.22．解：（I）由2240{12xyyx得21A，,故令121,',244yxykx抛物线在A点的切线方程为420xy.（II）由212yx及直线240xy的位置关系可知，点P应位于直线240xy的下方.故令12,'24yxyx，设切点为00,xy过切点00,xy的切线与直线240xy平行，所以02124x.所以012x，所以切点坐标为1122，，此时该点为抛物线上与线段AB的距离最大的点,故点11,22P即为所求.所以在抛物线的曲线AOB上存在点11,22P,使ABP的面积最大.