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第1页（共18页）2016-2017学年福建省漳州一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若=（x，1），，，则实数x=（）A．0B．2C．﹣2D．2或﹣22．下列图形中可以是某个函数的图象的是（）A．B．C．D．3．函数f（x）=loga（x+2）+1（a＞0且a≠1）的图象经过的定点是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，0）D．（1，2）4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A．x=0B．C．D．5．若a＞1，则一定存在一个实数x0，使得当x＞x0时，都有（）A．B．C．ax＜ax3+a＜logaxD．ax3+a＜ax＜logax6．若|+|=2，⊥，则|﹣|=（）A．1B．C．2D．47．若集合A={x|log2x＜3}，集合，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜8}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣2＜x＜8}D．{x|x＜8}第2页（共18页）8．若，，则在方向上的投影是（）A．B．C．D．9．若一扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A．1B．2C．3D．410．若函数f（x）=ax+loga（x2+1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a2+a+2，则实数a的值是（）A．B．10C．D．211．=（）A．B．C．1D．312．已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．，，，则与的夹角是．14．若函数f（x）=2sin（πx+φ）+1（0＜φ＜π）是偶函数，则φ=．15．若，则=．16．若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），f（x+1）是奇函数，现给出下列4个论断：①f（x）是周期为4的周期函数；②f（x）的图象关于点（1，0）对称；③f（x）是偶函数；④f（x）的图象经过点（﹣2，0）其中正确论断的序号是（请填上所有正确论断的序号）．第3页（共18页）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域与零点；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）的图象的对称中心的坐标．19．已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）是时间（单位：小时，0≤t≤24）的函数，记作y=f（t），如表是某日各时的浪高数据：t（时）03691215182124y（米）1.51.00.51.01.51.00.51.01.5（Ⅰ）在如图的网格中描出所给的点；（Ⅱ）观察图，从y=at+b，y=at2+bt+c，y=Acos（ωx+p）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（Ⅲ）依据规定，当海浪高度高于1.25米时蔡对冲浪爱好者开放，请依据（Ⅱ）的结论判断一天内的8：00到20：00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行活动．20．已知x=cos81°cos39°﹣sin219°cos171°，，，求x+y+z的值．21．已知，，，．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求β的值．第4页（共18页）22．已知函数的值域为D，函数，x∈[4，+∞）的值域为T．（Ⅰ）求集合D和集合T；（Ⅱ）若对任意的实数x1∈[4，+∞），都存在x2∈R，使得g（x1）f（x2）=1，求实数a的取值范围．第5页（共18页）2016-2017学年福建省漳州一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若=（x，1），，，则实数x=（）A．0B．2C．﹣2D．2或﹣2【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得x2﹣4=0，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，=（x，1），，若，则有x2﹣4=0，解可得：x=±2；故选：D．2．下列图形中可以是某个函数的图象的是（）A．B．C．D．【考点】31：函数的概念及其构成要素．【分析】由函数的概念，A、B、C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数第6页（共18页）的定义．【解答】解：由函数的概念，A、B、C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义，而D符合．故选：D．3．函数f（x）=loga（x+2）+1（a＞0且a≠1）的图象经过的定点是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，0）D．（1，2）【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数的性质，令真数等于1，可得x的值，带入计算即可得y的值，从而得到定点的坐标．【解答】解：函数f（x）=loga（x+2）+1，令x+2=1，可得：x=﹣1，那么y=1，∴函数f（x）=loga（x+2）+1（a＞0且a≠1）的图象经过的定点是（﹣1，1）．故选：B．4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A．x=0B．C．D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的对称轴方程公式，求出该题的对称轴方程，判断各选项即可．【解答】解：函数，其对称轴方程为：，k∈Z．可得：x=．当k=1时，可得一条对称轴方程是x=．故选：D．第7页（共18页）5．若a＞1，则一定存在一个实数x0，使得当x＞x0时，都有（）A．B．C．ax＜ax3+a＜logaxD．ax3+a＜ax＜logax【考点】2I：特称命题．【分析】a＞1时，函数y=logax，y=ax3+a，y=ax都为单调递增函数，但是增长速度不一样．进而得出答案．【解答】解：a＞1时，函数y=logax，y=ax3+a，y=ax都为单调递增函数，但是增长速度不一样．根据它们增长快慢的速度，可得：一定存在一个实数x0，使得当x＞x0时，都有logax＜ax3+a＜ax．故选：A．6．若|+|=2，⊥，则|﹣|=（）A．1B．C．2D．4【考点】93：向量的模．【分析】由⊥，得，利用向量的数量积的性质计算得答案．【解答】解：由⊥，得．∵|+|2=，即，∴|﹣|2==4．∴|﹣|=2．故选：C．7．若集合A={x|log2x＜3}，集合，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜8}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣2＜x＜8}D．{x|x＜8}【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据交集的定义即可求出．【解答】解：∵log2x＜3=log28，第8页（共18页）∴0＜x＜8，∴A={x|0＜x＜8}，∵＜，∴x＞2，∴B={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜8}，故选：A8．若，，则在方向上的投影是（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标直接代入向量在向量方向上投影公式求解．【解答】解：∵，，∴在方向上的投影为．故选：C．9．若一扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】G8：扇形面积公式．【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=求出扇形圆心角的弧度数．【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，扇形的圆心角的弧度数是α，则2r+l=4，…①∵S扇形=lr=1，…②解①②得：r=1，l=2，∴扇形的圆心角的弧度数α==2．第9页（共18页）故选：B．10．若函数f（x）=ax+loga（x2+1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a2+a+2，则实数a的值是（）A．B．10C．D．2【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】依题意函数在[1，2]上单调，故f（1）+f（2）=a+loga2+a2+loga5=a2+a+2，即可得出结论．【解答】解：依题意函数在[1，2]上单调，故f（1）+f（2）=a+loga2+a2+loga5=a2+a+2，解得a=．故选A．11．=（）A．B．C．1D．3【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】观察发现：12°+18°=30°，故利用两角和的正切函数公式表示出tan（12°+18°），利用特殊角的三角函数值化简，变形后即可得到所求式子的值．【解答】解：由tan30°=tan（12°+18°）==，得到tan12°+tan18°=1﹣tan12°•tan18°则=tan12°+tan18°+tan12°•tan18°=1．故选：C．12．已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．B．C．第10页（共18页）D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据与的夹角为锐角，则（）（）＞0，且排除同向的情况【解答】解：∵与的夹角为锐角，∴（）（）＞0，即3λ+λ+（3+λ2）•＞0，∵向量与的夹角为，，，∴3λ+2λ+（3+λ2）＞0，即λ2+5λ+3＞0，解得λ＞或λ＜当与的同向时，即λ2=3，即λ=时，不符合题意，综上所述实数λ的取值范围是（﹣∞，）∪（，）∪（，+∞），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．，，，则与的夹角是．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式计算即可．【解答】解：∵，∴||==2，∵，，设与的夹角为θ，∴cosθ===，第11页（共18页）∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为：．14．若函数f（x）=2sin（πx+φ）+1（0＜φ＜π）是偶函数，则φ=．【考点】H3：正弦函数的奇偶性．【分析】由于函数为偶函数，故需要符合诱导公式中的奇变偶不变，故φ=+kπ，即可得出结论．【解答】解：由于函数为偶函数，故需要符合诱导公式中的奇变偶不变，故φ=+kπ，由于0＜φ＜π，所以φ=．故答案为．15．若，则=．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】由题意利用两角和的正切公式，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：若=，∴tanα=，则====，故答案为：．16．若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），f（x+1）是奇函数，现给出下列4个论断：①f（x）是周期为4的周期函数；第12页（共18页）②f（x）的图象关于点（1，0）对称；③f（x）是偶函数；④f（x）的图象经过点（﹣2，0）其中正确论断的序号是①②③（请填上所有正确论断的序号）．【考点】3Q：函数的周期性．【分析】求出函数f（x）的周期，判断出函数的奇偶性，从而求出答案即可．【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x）可知函数周期为4，由f（x+1）是奇函数关于原点对称，可知f（x）关于（1，0）对称，即f（1+x）=﹣f（1﹣x），f（﹣x）=﹣f（﹣x+2）=﹣f（1+1﹣x）=f（1﹣（1﹣x））=f（x），所以函数为偶函数，f（﹣2）=﹣f（﹣2+2）=﹣f（0），无法判断其值．综上，正确的序号是：①②③．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域与零点；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】（1）由真数大于零得到关于实数x的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域，解方程f（x）=0即可确定函数的零点．（2）结合（1）的结论和函数解析式的特点即可确定函数的奇偶性．【解答】解：（Ⅰ）∵∴﹣1＜x＜1，∴f（x）的定义域为（﹣1，1）．由f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）=0，得ln（1+x）=ln（1﹣x），∴1+x=1﹣x＞0，解得x=0，∴f（x）的零点为x=0．（Ⅱ）结合（I）的结论可得函数的定义域关于坐标原点对称，第13页（共18页）且对任意的实数x∈（﹣1，1），都有f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和递增区间；（Ⅱ）求函数