高中数学必修一第二章-基本初等函数(Ⅰ)复习课

第二章基本初等函数（Ⅰ）复习课1、n次方根的定义：n次方根：如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中*1,nnN且2、n次方根的性质（1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，记为：na;（2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，记为na;（3）负数没有偶次方根，0的任何次方根都是03、;;nnanaan为奇数为偶数4、有理数指数幂的运算性质annaaaa个)(Nn；010aa；10,nnaanNa.（1）,mnmnaaamnZ；（2）,nmmnaamnZ；（3）nnnababnZ其中mnmnmnaaaaa，1nnnnnnaaababbb．5、对数：如果)10(aaNax且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作Nxalog。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当01a时，NxNaaxlog（符号功能）——熟练转化常用对数：以10为底10logN写成lgN；自然对数：以e为底logeN写成lnN（2.71828e…）6、对数的性质：（1）在对数式中0xNa（负数和零没有对数）；（2）log10,log1;aaa（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把baN中b的写成logaN，则有logaNaN（对数恒等式）。7、对数的运算性质：如果01,0,0aMN，那么：（1）logloglogaaaMNMN；（2）logloglogaaaMMNN；（3）loglognaaMnM；（4）loglog,(01,01,0)logcacbbaaccba且且（换底公式）；（5）1log;logabba（6）loglogmnaanbbm；8、指数函数的性质函数名称指数函数定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域（0,+∞）过定点图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况y＞1(x＞0),y=1(x=0),0＜y＜1(x＜0)y＞1(x＜0),y=1(x=0),0＜y＜1(x＞0)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x轴．在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x轴．01xayxy(0,1)O1y01xayxy(0,1)O1y9、对数函数的性质函数名称对数函数定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx10、反函数（1）反函数概念函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数。（2）反函数的性质互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。11、幂函数11.（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qp（其中,pq互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方．(一)、指数、对数运算熟练掌握指数幂的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则、公式是指、对函数及其一切运算赖以施行的基础。例1、计算下列各式的值（1）12102317(0.027)22179；（2）321lg5(lg8lg1000)(lg2)lglg0.066答案：（1）-45；（2）1.例2、设1245100,2()abab求的值.答案：2.例3（选讲）、已知4(),01,42xxfxa且(1)()(1)fafa求的值；1231000(2)()()()...()1001100110011001ffff求的值.答案：（1）1；（2）500.说明：如果函数()xxafxaa，则函数()fx满足()(1)1fxfx（二）、指数函数、对数函数、幂函数的图像熟悉幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质是熟练求解幂指对问题的关键。例4.已知c0，下列不等式中成立的一个是()A．c2cB．c(12)cC．2c(12)cD．2c(12)c[解析]在同一坐标系中分别作出y＝x，y＝(12)x，y＝2x的图象(如下图)，显然x0时，x2x(12)x，即c0时，c2c(12)c，故选C.例5.方程2x－2x＝2x＋1的解的个数为______．[解析]原方程即2x＝2x＋2x＋1，在同一坐标系中画出y＝2x，y＝2x＋2x＋1的图象，由图象可知有3个交点.例6.20.3，log20.3,0.32这三数之间的大小顺序是()A．20.30.322log0.3B．20.32log0.30.32C．2log0.320.30.32D．2log0.30.3220.3[分析]可分别画出y＝2x，y＝2logx与y＝2x的图象用图象来解决，也可以由幂、指、对函数值的分布规律解决．[解析]如图，在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝2x及y＝2logx的图象．观察图象知当x＝0.3时，2log0.320.30.32.选C.例7．方程3logx＋x＝3的解所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,＋∞)[解析]直接解方程是无法实现的，而借助于数形结合思想作出图象，则问题易于解决．设1y＝3logx，2y＝－x＋3，在同一坐标系中画出它们的图象(如下图)观察可排除A，D.其交点P的横坐标应在(1,3)内．又x＝2时，1y＝3log21，而2y＝－x＋3＝1，且知1y是增函数，2y是减函数，所以交点P的横坐标应在(2,3)内，∴选C.例8.函数2()1logfxx与1()2xgx在同一直角坐标系下的大致图象是()[答案]C[解析]f(x)的图象过点(1,1)，g(x)的图象过点(0,2)，只有C符合，故选C.（三）、指数函数、对数函数的性质例9、比较下列每组中两个数的大小0.30.41.31.60.31.3111(1)2.1_____2.1;(2)()_____();(3)2.1_____()555550.70.543(4)log1.9_____log2;(5)log0.2_____log2;(6)log2_____log4答案：（1）;(2);(3);(4);(5);(6).例10、求下列函数的定义域（1）1218xy；（2）11()2xy；（3）12log(32)yx；（4）12log(5)yx答案：（1）11,,22;(2)0,；（3）2,3；（4）5,6。例11、求下列函数的值域（1）12,[1,4]xyx；(2)23log,[1,)yxx；答案：（1）15,1；（2）3,。例12、解下列不等式（1）11242x；（2）0.70.7log(2)log(1)xx答案：（1）0,3；（2）1,。变式：设函数2,(0)()1,(0)xxfxxx，若0()2fx，求0x的取值范围答案：1,1例13、()log,[2,4](01)1afxxxaa函数的最大值比最小值大，求实数的值答案：2或12。变式：函数[0,1]xya在上的最大值与最小值的和为3，求函数13()[0,1]xya在上的最大值。答案：3.（四）、指数、对数型复合函数的单调性指数、对数函数的单调性应用十分广泛，可以用来比较数或式的大小，求函数的定义域、值域、最大值、最小值、求字母参数的取值范围等。对复合函数[()]yfgx，若()ugx在区间(,)ab上是增函数，其值域为(,)cd，又函数()yfu在(,)cd上是增函数，那么复合函数在(,)ab上为增函数。可推广为下表（简记为同增异减）：()ugx增增减减()yfu增减增减[()]yfgx增减减增例14、如果函数2()(1)xfxaRa在上是减函数，求实数的取值范围答案：2,11,2。例15、求下列函数的单调区间。（1）26171()()2xxfx；（2）求函数25log(23)yxx的单调区间答案：（1）增区间：3,，减区间：,3；（2）增区间：3,，减区间：,1。变式：求下列函数的单调区间（1）225xxy；（2）20.1log(253)yxx答案：（1）增区间：1,，减区间：,1；（2）增区间：5,34，减区间：15,24。例16、函数log(4)(4,)ayxa的单调增区间是，求实数的取值范围答案：1,例17（选讲）、求函数1423[0,1]xxy在区间上的最大值与最小值。答案：6,11。例18、求函数22112212loglog1(4)4yxxx的值域．[解析]令12logx＝u，∵14≤x≤4，∴－2≤u≤2，函数变为y＝2u2－2u＋1＝2(u－12)2＋12(－2≤u≤2)．∴当u＝12时，miny＝12；当u＝－2时，maxy＝13.由u＝12得，x＝22，由u＝－2得，x＝4.∴在x＝22时，函数取最小值12，在x＝4时，函数取最大值13，值域为[12，13]．（五）、探究问题例19、教材第75页习题2.2B组第5题（1）试着举几个满足“对定义域内任意实数,ab，都有()()()fabfafb”的函数例子，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数,ab，都有()()()fabfafb”的函数例子，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？答案：（1）2logyx，0.3logyx；（2）3xy，0.1xy课堂巩固：6、函数()log(1)[0,1]xafxax在上的最大值与最小值之和为a，求实数a的值7、求下列函数的单调区间（1）228()2xxfx；（2