24.4弧长和扇形面积解析

1．圆的周长公式是。2、圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______。2°的圆心角所对的弧长是_______。4°的圆心角所对的弧长是_______。……n°的圆心角所对的弧长是_______。R20360180R1802R1804R180Rn在半径为R的圆中，n0的圆心角所对的弧长为：注意：1.在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位。2.公式中出现的三个量l，n,R,只要已知其中任意两个量，就能求出第三个量。1803602RnRnlππ例1：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。6050180180nRl=350(cm)答：此圆弧的长度为350cm解：1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧长为______2.已知一条弧的半径为9，弧长为8，那么这条弧所对的圆心角为____。3.钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是()A.B.C.D.cm310cm320cm325cm3502160°B例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB的长L（mm）1570500180900100因此所要求的展直长度L（mm）297015707002答：管道的展直长度为2970mm．ACBA′C′l例3：如图，把Rt△ABC的斜边放在直线上，按顺时针方向转动一次,使它转到的位置。若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经过的路线长。ABCl34l如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。OBA圆心角弧OBA扇形1、圆的面积公式是。2、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。……n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。2RS036036012R36022R36052R3602Rn在半径为R的圆中，圆心角为n0的扇形的面积是：比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式,你能用弧长来表示扇形的面积吗?探索弧长与扇形面积的关系3602RnS扇形180RnlABOO比较扇形面积与弧长公式,用弧长表示扇形面积:lRS21扇形1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇形=.312、已知扇形面积为，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=____．4/3√21、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇形=_.31342、已知扇形面积为，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=____．3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇形=——．343423、已知扇形的圆心角为1500，弧长为，则扇形的面积为__________．20cm2、已知扇形的圆心角为300，面积为，则这个扇形的半径R=____．23cm6cm做一做：2240cm1、已知半径为2的扇形，面积为，则它的圆心角的度数______．34120°如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。0BACD弓形的面积=S扇-S⊿提示：要求的面积，可以通过哪些图形面积的和或差求得加深拓展解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交弧AB于点C.∵OC=0.6，DC=0.3在Rt△OAD中，OA=0.6，利用勾股定理可得：30.33.00.6AD2222ODOA∴OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3∴∠AOD=60°，∠AOB=120°在Rt△OAD中，∵OD=0.5OAOABABSSO扇形0.60.30BACD∴∠OAD=30°21200.61O3602ABD3.036.02112.022.0有水部分的面积为=变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。0ABDCE弓形的面积=S扇+S△•S弓形=S扇形-S三角形•S弓形=S扇形+S三角形规律提升00弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差通过本节课的学习，我知道了……学到了……感受到了……体会分享2.扇形面积公式与弧长公式的区别：S扇形＝S圆360nl弧＝C圆360n1.扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？（2）与半径的长短有关（1）与圆心角的大小有关lRS21扇形2360nRS扇形180Rnl1.如图，已知扇形AOB的半径为10cm，∠AOB=60°，求弧AB的长和扇形AOB的面积(写过程）当堂测验2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的，则此扇形的圆心角是_________813、已知扇形的半径为6cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是______cm2,扇形的圆心角为______°.cm3102350cm45°3304.(2006,武汉)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和是___________.ABCD5.（2007，山东）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为个平方单位．6.已知等边三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积S.2a圆锥的侧面积和全面积一、圆的周长公式二、圆的面积公式C=2πrS=πr2180nRl2360nRs12slR或三、弧长的计算公式四、扇形面积计算公式知识回顾•认识圆锥圆锥知多少2.圆锥的母线把连结圆锥顶点和底面圆周上的任意一点的线段叫做圆锥的母线。1.圆锥的高h连结顶点与底面圆心的线段.点击概念圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆，侧面是一个曲面.思考：圆锥的母线有几条？3.底面半径rhrOll探究新知圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系:例如：已知一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这个圆锥的母长为_______10cm222lhrhrOl1.圆柱的侧面展开图是一个矩形.2.圆柱的侧面积是母线与圆柱的底面圆周长围成的矩形面积.3.圆柱的全面积=侧面积+底面积回顾圆柱的侧面积母线底面圆周长准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的侧面展开图．图23.3.7探究新知hrOl问题1:1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？图23.3.7探究新知相等母线2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？问题2：SBAO圆锥及侧面展开图的相关概念OPABrhl圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积.圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.圆锥的侧面积和全面积探究新知扇形侧SSrl底侧全SSS2rlrhrOl圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。圆锥的侧面积和全面积如图:设圆锥的母线长为L,底面半径为r.则圆锥的侧面积公式为：.π221lrS侧=rlπ全面积公式为：SSS底侧全+==πrl＋πr2rLπ2=OPABrhl1.已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为_________，全面积为__________2240cm2384cm随堂练习2.一个圆锥形的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，高为4cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积为（）A.B.C.D.2cm662cm302cm282cm15D例2：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°用这个扇形围成一个圆锥的侧面.(1)求这个圆锥的底面半径r;(2)求这个圆锥的高.ACOBrr=4212•1.圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm,求它的全面积.•S全=5200cm22.扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一个圆锥模型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高.r=10;h=2203．（09年湖北）如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（）．A．B．C．D．勇攀高峰51682458412C例2蒙古包可以近似地看成有圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡塔建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高为1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？（π取3.142，结果取整数）rrh1h2解：如图，是一个蒙古包示意图.根据题意，得：1h下部圆柱的底面积为12m2，高为1.8m；上部圆锥的高==（m)1hSr2∵即：r=S∴圆柱的底面半径为r=≈1.954m.∴圆锥的母线长==_________≈2.404（m)，圆锥侧面积展开扇形的弧长为2π×≈（m)∴圆锥侧S=≈（m2)∴搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×（+)≈（m2).8.12.34.1128.1954.12224.1954.1954.128.1228.12404.22176.1210.2228.12738=≈22.10（m2)rrh1h2例1.童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子,其圆锥形帽身的母线长为15cm,底面半径为5cm,生产这种帽身10000个,你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗(不计接缝用料和余料,π取3.14)?解:∵l=15cm,r=5cm,∴S圆锥侧=πrl∴235.5×10000=2355000(cm2)答:至少需235.5平方米的材料.≈3.14×15×5=235.5(cm2)=π×15×5rl1.有一直径为√2的圆形纸片，要从中剪出一个最大圆心角是90°的扇形ABC.（1）求被剪出阴影部分的面积;（2）用所留的扇形铁皮围城一个圆锥，该圆锥的底面半径为多少？求出圆锥的侧面积.例2.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?ABC61B’解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’,∠BAB’=n°∴△ABB’是等边三角形答:蚂蚁爬行的最短路线为6.解得:n=60∵圆锥底面半径为1,连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线又∵l弧BB’=6nπ180∴2π=∴BB’=AB=66nπ180例3、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？.323323∴.3,60∠Δ.60∠∴120360∠.⊥它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：==°=°=°=°×=′′′.323323.3,60.60120360.它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：.323323∴.3,60∠Δ.60∠∴120360∠.⊥它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：==°=°=°=°×=′′′.323323∴.3,60∠Δ.60∠∴120360∠.⊥它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：==°=°=