高中数学-1.1.1-角的概念的推广学案-新人教B版必修4

1.1.1角的概念的推广1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角.2.理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置.(重点)[基础·初探]教材整理1角的概念阅读教材P3～P4“例1”以上内容，完成下列问题.1.角的概念(1)角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：①正角：按照逆时针方向旋转而成的角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.2.角的加减法运算(1)射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.(2)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β).这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和.时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.【解析】时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的112，所以转动的角的大小是－112×360°＝－30°.【答案】－30°教材整理2终边相同的角阅读教材P4“例1”以下～P5“第4行”以上内容，完成下列问题.1.前提：α表示任意角.2.表示：所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.()(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.()(3)终边相同的角的表示不唯一.()【解析】由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确.【答案】(1)√(2)√(3)√教材整理3象限角阅读教材P5“第5行”～“例2”以上内容，完成下列问题.1.象限角：平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合.这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.2.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中错误的序号为________.(把错误的序号都写上)【解析】由象限角定义可知①②③④都不正确.【答案】①②③④[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型]任意角的概念(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A.A＝B＝CB.A⊆CC.A∩C＝BD.B∪C⊆C(2)下面与－850°12′终边相同的角是()A.230°12′B.229°48′C.129°48′D.130°12′【精彩点拨】正确理解第一象限角、锐角、小于90°的角的概念.【自主解答】(1)第一象限角可表示为k·360°αk·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°β90°；小于90°的角可表示为γ90°；由三者之间的关系可知，选D.(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.【答案】(1)D(2)B1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.常见360°的倍数如下：1×360°＝360°，2×360°＝720°，3×360°＝1080°，4×360°＝1440°，5×360°＝1800°.[再练一题]1.有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°，(k∈Z).其中正确说法的序号是________.【导学号：72010000】【解析】①不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°，(k∈Z)；③正确.因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°(k∈Z).【答案】③象限角与区域角的表示(1)如图1­1­1，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是()图1­1­1A.{α|k·360°＋30°αk·360°＋45°，k∈Z}B.{α|k·180°＋150°αk·180°＋225°，k∈Z}C.{α|k·360°＋150°αk·360°＋225°，k∈Z}D.{α|k·360°＋30°αk·180°＋45°，k∈Z}(2)已知角β的终边在如图1­1­2所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.图1­1­2【精彩点拨】找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k·360°k∈Z适合题意的角的集合【自主解答】(1)在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°αk·360°＋225°，k∈Z}.【答案】C(2)阴影在x轴上方部分的角的集合为：A＝{β|k·360°＋60°≤βk·360°＋105°，kZ}.阴影在x轴下方部分的角的集合为：B＝{β|k·360°＋240°≤βk·360°＋285°，k∈Z}.所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤βk·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤βk·360＋285°，k∈Z)，其中B可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤βk·360°＋180°＋105°，k∈Z}.即{β|(2m＋1)×180°＋60°≤β(2m＋1)×180°＋105°，m∈Z}.集合A可以化为{β|2m×180°＋60°≤β2m×180°＋105°，m∈Z}.故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤βn·180°＋105°，n∈Z}.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|αxβ}，其中β－α360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.[再练一题]2.写出图1­1­3中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.图1­1­3【解】在－180°～180°内落在阴影部分角集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°α45°＋k·360°，k∈Z}.[探究共研型]αk所在象限的判定方法及角的终边对称问题探究1由α所在象限如何求αk(k∈N*)所在象限？【提示】(1)画图法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，αk就在n号区域.例如：当角α在第二象限时，α2在图k＝2时的2号区域，α3在图k＝3时的2号区域.但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法.(2)代数推导法：运用代数式一步一步推理.如：当角α在第二象限时，90＋k·360°α180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°α360°＋k·120°，k∈Z，所以α3在第一、二、四象限.探究2若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？【提示】(1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.(1)(2016·北京高一检测)若α是第四象限角，则180°－α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？【精彩点拨】(1)可通过写出α的取值范围，逐步求得180°－α范围来求解；(2)可由α范围写出2α，α2的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定α2的位置.【自主解答】(1)因为α是第四象限角，则角α应满足：k·360°－90°αk·360°，k∈Z，所以－k·360°－α－k·360°＋90°，则－k·360°＋180°180°－α－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，当k＝0时，180°180°－α270°，故180°－α为第三象限角.【答案】C(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°α180°＋k·360°，∴180°＋2k·360°2α360°＋2k·360°，k∈Z，∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角.同理45°＋k2·360°α290°＋k2·360°.当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°α290°＋n·360°，此时，α2为第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°α2270°＋n·360°，此时，α2为第三象限角.∴α2为第一或第三象限角.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或αn的范围，再根据k与n的关系进行讨论.[再练一题]3.本例(2)中条件不变，试判断α3是第几象限角？【解】∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°α180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k·120°α360°＋k·120°，k∈Z.当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°α360°＋n·360°，n∈Z此时α3为第一象限角，当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°α3180°＋n·360°，n∈Z，此时α3为第二象限角，当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°α3300°＋n·360°，n∈Z，此时α3为第四象限角.∴α3为第一、第二或第四象限角.1.若α是第一象限角，则－α2是()A.第一象限角B.第一、四象限角C.第二象限角D.第二、四象限角【解析】因为α是第一象限角，所以α2为第一、三象限角，所以－α2是第二、四象限角.【答案