圆轴扭转的切应力与强度计算变形几何关系

第5章扭转与剪切第5章扭转与剪切5.1扭转的概念与实例5.2外力偶矩与扭矩5.3圆轴扭转的切应力与强度计算5.4圆轴扭转变形与刚度计算5.5剪切与挤压的实用计算思考与练习第5章扭转与剪切5.1扭转的概念与实例5.1.1扭转的概念图5.1TT第5章扭转与剪切其变形特点是：杆件的任意两横截面绕轴线产生相对转动，但杆的轴线位置和形状保持不变。这种变形称为扭转。以扭转为主要变形的杆件称为轴。第5章扭转与剪切5.1.2图5.2FAMFB第5章扭转与剪切图5.3FFdMe第5章扭转与剪切5.2外力偶矩与扭矩5.2.1外力偶矩的计算在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，通常给出的是圆轴所需传递的功率和转速。因此，需要了解功率、转速和外力偶矩三者之间的关系，即nPM9549式中,M——作用于轴上的外力偶矩,单位:N·m；P——轴所传递的功率,单位:kWn——轴的转速,单位:r/min。说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相同；轴上输出力偶矩是阻力偶矩，其转向与轴的转向相反。第5章扭转与剪切【例5.1】已知某传动轴传递的功率为7.5kW，转速为300r/min，试计算此传动轴传递的外力偶矩。解由公式(5.1)计算得mNM725.2383005.79549第5章扭转与剪切图5.4M1mmM2M3M1TM2M3T(a)(b)(c)第5章扭转与剪切由力偶平衡条件可知：m-m截面上必须有一个内力偶矩与外力偶矩Ｍ1平衡，此内力偶矩称为扭矩，用符号T表示，T的单位为N·m。由∑m=0得110MTTM若取m-m横截面的右端部分为研究对象，画出受力图,如图5.4(c)所示。可求得m-m横截面上的扭矩T′，显然，T′与T大小相等，方向相反，即为作用与反作用关系。由∑m=0T′+Ｍ2-M3=0T′=M3-M2(M1=M3-M2)第5章扭转与剪切图5.5MeTnx(＋)(a)(＋)nxMe(b)T第5章扭转与剪切5.2.3扭矩图通常圆轴上各横截面上的扭矩是不相同的。为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为x轴（横坐标轴），以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图。第5章扭转与剪切【例5.2】绘出图5.6(a)所示的悬臂梁的扭矩图。图5.6222000N·mB500N·m500N·mT122T2B2000N·m1111500N·mCT(N·m)O500N·m－1500N·mx(a)(b)(c)(d)CA第5章扭转与剪切解(1)计算梁上各段横截面上的扭矩。因为是悬臂梁，可取截面的自由端部分BC段,如图5.6（b）所示。由平衡方程T1-500=0T1=500N·mAB段：如图5.6（c）所示。T2+2000-500=0T2=-1500N·m(2)绘制扭矩图如图5.6(d)所示。第5章扭转与剪切【例5.3】已知一传动轴如图5.7(a)所示，主动轮A上输入功率为15kW，B、C轮为输出轮，输出轮B上输出功率为10kW，轴的转速为n=1000r/min。试求各段轴横截面上的扭矩，并绘出扭矩图。解(1)计算外力偶矩M。mNMmNMBA49.95100010954924.1431000159549方向与轴的转向相同方向与轴的转向相反第5章扭转与剪切(2)计算扭矩T。由图5.7(b)可得T1+MA=0T1=-MA=-143.24N·m由图5.7(c)可得T2+MA-MB=0T2=MB-MA=-47.75N·m第5章扭转与剪切(3)绘制扭矩图如图5.7(d)所示。由图可知，AB段所承受的扭矩最大，其值为-143.24N·m。图5.7AMA1111T122MBMCBCMAMAMB22T20x－143.24BN·m－47.75N·m(a)(b)(c)(d)T第5章扭转与剪切5.3圆轴扭转的切应力与强度计算5.3.1变形几何关系取一等截面圆轴，在其表面上作出两条平行于轴线的纵向线aa、bb,两条圆周线11、22，如图5.8(a)所示。再在圆轴的两端分别作用一个外力偶M，使杆件发生扭转变形。由图5.8(b）可以看到以下变形现象：各圆周线的形状、大小、间距保持不变，只绕轴线作相对转动；各纵向线倾斜了一个相同的角度γ，由圆周线与纵向线组成的原矩形变成了平形四边形。第5章扭转与剪切由以上分析可知：圆轴受扭转变形后，其横截面大小和形状不变，由此可导出横截面上沿半径方向无切应力作用；又由于相邻横截面的间距不变，因此横截面上无正应力作用。但因为相邻横截面发生绕轴线的相对转动，所以横截面上必然有垂直于半径方向的切应力。切应力用符号τ表示。在圆轴上取一微段dx，放大后如图5.8(c)所示，右截面相对于左截面转过了一个角度dφ，半径由O2B转至O2C位置，纵向线AB倾斜γ角度达到AC位置，A点的切应变为dxdRtan第5章扭转与剪切那么，距轴线为ρ的任意一点的切应变为dxd对于给定的横截面，dφ/dx为常量。故由（5.2）式可知，横截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比。第5章扭转与剪切图5.8(a)1122abab12dxRO1AABO2CC12Bd(b)(c)Mab1212ab第5章扭转与剪切5.3.2横截面上的切应力由剪切胡克定律可得τρ=Gγρ,即dxdG（5.3）式中，G为材料的切变模量，其数值可由实验测得，常用单位为GPa。τρ为截面上离轴心距离为ρ的各处切应力。第5章扭转与剪切（5.3）式表明：横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半径垂直，可以证明横截面上任意一点的切应力计算公式为τρ=Tρ/Ip。式中Ip为横截面对圆心O点的极惯性矩，按公式计算:实心圆截面：324dIp空心圆截面：DddIp)1(3244因此，实心圆轴和空心圆轴横截面上的切应力分布可用图5.9表示。第5章扭转与剪切图5.9OTmaxTmax第5章扭转与剪切由上图可知：在圆轴横截面上，当ρ=0时，τ=0；当ρ=R时，即圆轴横截面上边缘上点的切应力为最大值τmax，且切应力沿半径方向呈线性增长。其最大切应力τmax为pWTmax（5.4）显然，Wp=Tp/R。上式中,Wp为抗扭截面系数，单位为m3、mm3。对于如图5.10所示的实心圆轴，其抗扭截面系数Wp为163dWp第5章扭转与剪切图5.10d第5章扭转与剪切对于如图5.11所示的空心圆轴，其抗扭截面系数Wp为)1(1643DWp图5.11其中α=d/D。Dd第5章扭转与剪切5.3.3强度计算圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的最大切应力小于或等于材料的许用切应力,即τmax≤［τ］。对于等截面圆轴有][maxmaxpWT第5章扭转与剪切【例5.4】一阶梯圆轴如图5.12(a)所示，轴上受到外力偶矩M1=6kN·m，M2=4kN·m，M3=2kN·m，轴材料的许用切应力［τ］=60MPa，试校核此轴的强度。解(1)绘制扭矩图如图5.12(b)所示。(2)校核AB段的强度。][69.171612.060003maxMPa则强度足够。(a)第5章扭转与剪切(3)校核BC段的强度。][90.191608.020003maxMPa(b)则强度足够。第5章扭转与剪切图5.121200T6kN·m2kN·mXABCM1M2M3100080080(a)(b)第5章扭转与剪切【例5.5】某机器传动轴由45号钢制成，已知材料的［τ］=60MPa，轴传递的功率P=16kW，转速n=100r/min，试确定其直径。解(1)计算外力偶矩和扭矩。mNnPMTe15271001695499549(2)计算轴的直径。mmTddT26.506014.310152716][16][163333max第5章扭转与剪切【例5.6】如图5.13所示的联轴器中，轴材料的许用切应力［τ］=40MPa，轴的直径d=30mm。套筒材料的许用切应力［τ］=20MPa，套筒外径D=40mm。试求此装置的许可载荷。图5.13MDdM第5章扭转与剪切解(1)按轴的扭转强度求许可载荷。mNmmNWTMWTWTmmDWpppp95.2119502114075.5298][][][75.52981640)1(16maxmax3343第5章扭转与剪切(2)按套筒的扭转强度求许可载荷。mNmmNWTMWTWTmmDWpppp44.724.44372][][][2.3622403011640)1(16maxmax34343取两者之中的较小值，此装置的许可扭矩为72.44N·m。第5章扭转与剪切5.4圆轴扭转变形与刚度计算5.4.1扭转变形圆轴扭转时的变形采用两个横截面之间的相对转角φ来表示。对于长度为L，扭矩为T，且截面大小不变的等截面圆轴，其变形计算公式为pGITL对于直径变化的圆轴(阶梯轴)，或者扭矩分段变化的等截面圆轴，必须分段计算相对转角，然后计算代数和。第5章扭转与剪切5.4.2刚度条件圆轴扭转变形的刚度条件为：最大单位长度扭转角θmax不超过许用的单位长度扭转角［θ］。即][180maxmaxpGITL式中θ的单位为°/m。精密机器的轴:［θ］=0.25～0.50(°/m)一般传动轴:［θ］=0.50～1.00(°/m)要求不高的轴:［θ］=1.00～2.5(°/m)。第5章扭转与剪切【例5.7】汽车传动轴输入的力偶矩M=1.5kN·m，直径d=75mm，轴的许用扭转角［θ］=0.50°/m，材料的切变模量G=80GPa，试校核此传动轴的刚度。解(1)计算扭矩。此传动轴横截面上的扭矩为T=M=1.5kN·m。(2)计算Ip。46441012.532075.014.332mdIp第5章扭转与剪切(3)校核轴的刚度。][/21.014.31801012.51080105.1180693maxmaxmGITp故此传动轴刚度足够。第5章扭转与剪切5.5剪切与挤压的实用计算5.5.1剪切与挤压的概念如图5.14(a)所示铆钉联接，在被联接的物体上作用有等值、反向的力F，此时铆钉的受力特点是：铆钉受到一对等值、反向、作用线平行且相距很近的外力作用，如图5.14(b)所示。其变形特点是：沿两个方向相反的力作用线之间的截面发生相对错动，这种变形称为剪切变形,如图5.14(c)所示。产生相对错动的面称为剪切面,作用在剪切面上的内力称为剪力，用Fs表示。第5章扭转与剪切图5.14FFFF(a)(b)FFFF(c)(d)第5章扭转与剪切5.5.2(1)剪切实用计算。工程中，通常近似地认为剪切面上的切应力是均匀分布的，所以剪切面上的切应力计算公式为AFs公式中A为受剪切面的面积。剪切强度条件：剪切应力不超过材料的许用切应力。即][AFs第5章扭转与剪切(2)挤压的实用计算。工程中近似地把挤压面上的挤压应力也看成是均匀分布的。挤压应力σbs的计算公式为bsbsbsAF挤压强度条件：挤压应力不超过材料的许用挤压应力。即][bsbsbsbsAF公式中Fbs为挤压力，Abs为受挤压面积。当挤压面为圆柱面时，Abs等于通过圆柱直径的剖面面积,Abs=dh。如图5.15所示。第5章扭转与剪切图5.15dhd第5章扭转与剪切【例5.8】如图5.16所示齿轮与轴通过B型普通平键联接。已知轴径d=70mm，键的尺寸为b×h×l=20mm×12mm×100mm，传递转矩T=2kN·m，材料许用应力［σbs］=100MPa，［τ］=60MPa,试校核此键联接。解(1)校核键联接的剪切强度。剪力：][57.2810020861425786.1425786.1425727000000022MPalbAFNdTF