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一、分形理论1.1、引言欧氏几何、三角学、微积分学使我们能够用直线、圆、抛物线等其他简单曲线来建立现实世界中的形状模型。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空等，它们所描述的几何对象是规则和光滑的。而在自然界中存在着大量的复杂事物：变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管烧结过程中形成的各种尺寸的聚积团等等。面对这些事物和现象，传统科学显得束手无策。因为目前还没有哪一种几何学能更好地描述自然形态，象山、云、火这类的自然形态尚缺少必要的数学模型。近30年来，科学家们朦胧地“感觉”到了另一个几何世界，即关于自然形态的几何学，或者说分形几何学。这种几何学把自然形态看作是具有无限嵌套层次的逻辑结构，并且在不同尺度之下保持某种相似的属性，例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。于是在变换与迭代的过程中得到描述自然形态的有效方法(其中L系统和IFS方法便是典型的代表)。分形理论是非线性科学的一个重要分支，主要研究的就是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的具有自相似性且没有特征长度的形状和现象。1.2、分形理论的起源与发展1967年美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年，他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(fractaltheory)。分形理论的发展大致可分为三个阶段：第一阶段为1875年至1925年，在此阶段人们已认识到几类典型的分形集，并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。1872年，维尔斯特拉斯(Weieratrass)证明了一种连续函数—维尔斯特拉斯函数(图2.1)在任意一点均不具有有限或无限导数。同年，康托尔(Cantor)引入了一类全不连通的紧集，被称为康托尔三分集。1890年皮亚诺(Peano)构造出填充平面的曲线(图2.3)。皮亚诺曲线以及其它的例子导致了后来拓扑维数的引入。1904年科切(Koch)通过初等方法构造了处处不可微的连续曲线——科切曲线(图2.4)，并且讨论了该曲线的性质。波瑞（Perrin）在1913年对布朗运动的轨迹图进行了深入的研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。他的这些论述在1920年促使维纳(Wiener)建立了很多布朗运动的概率模型。为了表明自然混乱的极端形式，维纳采用了“混沌”一词。由于非常“复杂”的几何的引入，长度、面积等概念必须重新认识。为了测量这些集合，闵可夫斯基(Minkowski)于1901年引入了闵可夫斯基容度。豪斯道夫(Hausdorff)于1919年引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数。这些实际上指出了为了测量一个几何对象，必须依赖于测量方式以及测量所采取的尺度。总之，在分形理论发展的第一阶段，人们已经提出了典型的分形对象及其相关问题并为讨论这些问题做了最基本的工作。第二阶段大致为1926年到1975年，人们在分形集的性质研究和维数理论的研究都获得了丰富的成果。贝希柯维奇(Besicovitch)及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何性质、以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。布利干(Bouligand)于1928年引入了布利干维数，庞德泽金(Pontrjagin)与史尼雷尔曼（Schnirelman）于1932年引入了覆盖维数，柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）与季霍米洛夫(V.Tikhomirov)于1959年引入体维数。由于维数可以从不同角度来刻画集合的复杂性，从而起了重要作用。以塞勒姆(Salem)与柯汉(Kahane)为代表的法国学派从稀薄集的研究出发，对各种类型的康托尔集及稀薄集作了系统的研究，应用了相应的理论方法和技巧，并在调和分析理论中得到了重要的应用。尽管此阶段的分形研究成果颇丰，但绝大部分局限于纯数学理论的研究，而未与其它学科发生联系。另一方面，物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与分形几何有关的问题，迫切需要新的思想与有利的工具来处理。正是在这种形势下，曼德尔布罗特以其独特的思想，自20世纪60年代以来，系统、深入、创造性地研究了海岸线的结构、具强噪声干扰的电子通讯、月球的表面、银河系中星体的分布、地貌生成的几何性质等典型的自然界的分形现象，并取得了一系列令人瞩目的成就。第三阶段为1975年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。曼德尔布罗特于1977年以《分形：形、机遇和维数》为名发表了他的划时代的专著。此专著，第一次系统的阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。此专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生，从而把分形理论推进到一个更为迅猛发展的新阶段。5年后，他又出版了另一部著作《自然界的分形几何学》，至此分形理论初步形成。由于对科学的杰出贡献，他荣获了1985年的Barnard奖。现在“分形”的研究已经进入了一个深入攻坚与广泛应用的阶段。但是“分形”理论的研究却存在很大的缺陷，例如：分形严格的数学定义是什么？应该如何对分形进行简单的计算？重要的生长模型-扩散置限凝聚生长模型DLA(DiffusionLimitedAggregation)的物理本质是什么，它究竟是按什么规律在进行生长等。由于非线性数学工具的匮乏，我们在很多问题上都无法做出定量的刻画，目前大量的工作还是以计算机模拟为主。1.3、分形的定义与分形维数1.3.1分形的数学定义曼德尔布罗特对所谓“分形”曾有过以下几种定义：1.分形是这样一个集合，其豪斯道夫维Df严格大于拓扑维Dt，即DfDt，这就是曼德尔布罗特最初的定义。考虑到对普遍的规则几何对象Df=Dt，所以后来把分形定义成使不等式Df≥Dt成立的几何对象。集合的拓扑维数总是非负整数：点是0维，线是1维，面是2维，于是国内常常采用“分数维”这一说法，实际上，非整数维比分数维的说法稍好些，因为豪斯道夫维数常常是无理数。2.其组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。自相似集是研究得最多最透彻的一类分形集。这类分形集的特征是局部与整体相似。换句话说，若适当放大尺度，则任何一个局部都可以与整体重合。按集合论的语言：若一有界集合，包含N个不相重叠的子集，当其放大或缩小r倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。自相似集是分开集，换句话说，具有自相似性的系统叫做分形。当放大或缩小的倍数不是一个常数，而必须是的各种不同倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合，具有自仿射性的系统也叫做分形。3.分形是线性变换下的不变性。1.3.2分形的性质描述定义目前对分形并没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说，分形是没有特征长度，但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。英国数学家肯尼斯·法尔科内（KennethJ.Falconer）在其所著《分形几何的数学基础及应用》一书中认为，对分形的定义，可以用生物学中对“生命”定义的办法。即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，按这种观点，称集合F是分形，是指它具有下面典型的性质：a.F具有精细结构，即在任意小的尺度下，它总有复杂的细节。b.F是不规则的，其整体和局部都不能用传统的几何语言来描述：传统的几何语言，如欧几里德几何语言，只能对那些平滑的直线或曲线进行测量和描述，对分形这种处处不连续或处处连续但又处处不光滑的图形是无法测量和描述的。c.F通常具有自相似形式，这种自相似可以是近似的或是统计意义的。d.一般情况下，F在某种方式下定义的分形维数大于它的拓扑维数。这是曼德尔布罗特于1982年为分形所下的定义。分形维数是度量分形集复杂程度的一个量，它可以是整数也可以是分数或小数。而拓扑维数值恰恰是与组成分形的基本单元的欧氏维数值相同，那么分形维数大于它的拓扑维数，正好说明了分形用传统几何学来度量的话，它是个无限集，是一个趋向无穷的集合。在大多数情形下，F以非常简单的方法确定，可能迭代过程产生。分形的貌似复杂的解雇，其实是利用非常简单的规则反复迭代生成的。就像曼德尔布罗特集这个被称为数学中最复杂的集合对象的分形，在电脑中只需要二三十个语句的程序就可生成，而它的规则也简单的令人吃惊：Z=Z2+C，只不过这里的Z和C都是复数。另外，还应该注意到，分形是自然形态的几何抽象，如同自然界找不到数学上所说的直线和圆周一样，自然界也不存在“真正的分形”。从背景意义上看，说分形是大自然的几何学是恰当的。1.4、几种典型的分形1.4.1三分康托集1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程。三分康托集的构造过程构造出来的(如右图)。其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的1/3部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的1/3段。如此不断的分割下去，最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。三分康托集的Hausdorff维数是0.6309。1.4.2Koch曲线1904年，瑞典数学家柯赫构造了“Koch曲线”几何图形。Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维，并且生成的图形的面积为零。它和三分康托集一样，是一个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的Koch曲线也有很多种，比如三次Koch曲线，四次Koch曲线等。下面以三次Koch曲线为例，介绍Koch曲线的构造方法，其它的可依此类推。Koch曲线的生成过程三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形——一条线段；第二步，将这条线段中间的1/3处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的1/3处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。其图例构造过程如右图所示(迭代了6次的图形)。1.4.3Julia集Julia集是由法国数学家GastonJulia和PierreFaton在发展了复变函数迭代的基础理论后获得的。Julia集也是一个典型的分形，只是在表达上相当复杂，难以用古典的数学方法描述。Julia集Julia集由一个复变函数尽管这个复变函数看起来很简单，然而它却能够生成很复杂的分形图形。上图为Julia集生成的图形，由于c可以是任意值，所以当c取不同的值时，生成的Julia集的图形也不相同。1.5分形理论的研究方向及应用虽然分形是近30年才发展起来的一门新兴学科，但它已经激起了多个领域科学家的极大兴趣，其应用探索遍及数学、物理、化学、材料科学、生物与医学地质与地理学、地震和天文学、计算机科学乃至经济、社会等学科，甚至艺术领域(美术、音乐方面)也有它的应用。国际学术期刊“混沌”“孤子”和“分形”(Chaos，Solitonsa