1二次函数之二次函数中的面积问题1

郯城县第五中学孟祥飞我们朝气蓬勃，我们龙腾虎跃，我们诞生希望，实现梦想，创造奇迹，我们取鹰之志敢凌云，登峰之巅视群雄。这就是我们——无与伦比的九九班班级誓词中考考点·讲练类型一利用二次函数表达式求面积最大值的问题（三角形，四边形）在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下：1根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长；2观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解；3结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。如何求图中阴影部分的面积？ExyOABC图一xyOABD图二PxyOAB图四xyODC图三【自主探究】如何求图中阴影部分的面积？xyOMENA图五xyODCEB图六【自主探究】方法把它转化成易于求出面积的图形.（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形。即采用割或补的【反思归纳】这里蕴含着……的数学思想？（1）一般取在上的线段为底边.坐标轴转化(3)在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得S△NAB=S△ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。.N2.N3已知二次函数与轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P。223yxxx【尝试应用】.N1面积问题；(1)请根据所给条件，提出几个(2)请求出A、B、C、P的坐标，求出一个你提出的面积；PABOC·xy【变式一】在对称轴上是否存在一点N,NABABCSS使得？【变式一】ABOCyx·1N·2N【变式二】在双曲线点N,使NABABCSS？上是否存在3yx思考这些点N有什么共性？xyOABC·2N·1N【反思归纳】——万变不离其宗同底高的三角形面积相等，平行线间的距离处处；该类问题最终可转化为方程组是否有解的问题.同相等ABOCyABOCyxyOABCCh···AB1lh2l是否存在点N方程组是否有解与底边平行且和底边的距离为h的直线与所给图形是否有交点【建立模型】理论依据……如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△PAC的面积最大，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。把图形面积用二次函数表达式表示出来，然后利用函数表达式求最值补充知识：平面直角坐标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽再乘以二分之一来求。类型一：利用二次函数表达式求最大值的问题如图所示，抛物线y=-12x2-32x+2和直线y=12x+2相交于A、C两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△PAC的面积最大，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。把图形面积用二次函数表达式表示出来，然后利用函数表达式求最值补充知识：平面直角坐标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽再乘以二分之一来求。类型一：利用二次函数表达式求最大值的问题1.某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．（1）求△ABC的面积；（2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最大时D点的坐标，并求出△BDC的最大面积。针对练习针对练习1.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．（1）求抛物线的解析式（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．（3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值．例1已知二次函数的图象如图，（1）求二次函数的解析式；【解】（１）由图象看出A（-1，0），B（2，0）C（O，-2）设抛物线解析式为：y=a（x-2）（ｘ＋１）Ｃ在抛物线上，∴ａ＝１∴抛物线解析式为：ｙ＝ｘ２－ｘ－２-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ解（2）设过B（2，0）M（，－）2149的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ23则ｋ＝ｂ＝－３∴直线ＢＭ的解析式为：ｙ＝ｘ－３23∵QＮ=t∴把ｙ＝ｔ代入直线ＭＢ的解析式，得ｘ＝２－ｔ32∴S＝×２×１＋（２＋ｔ）（2－t）即S＝-t2＋t＋3其中0＜t＜213149312132（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为Q，当点N在线段BM上运动时（不与点B、点M重合）设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与ｔ间的函数关系式及自变量的取值范围；例1已知二次函数的图象如图，（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P使△PAC为Rt△？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ解：设P（m，n）则ｎ＝ｍ２－ｍ－２１）当Ｒｔ△ＰＡＣ是以ＰＣ为斜边时有ＰＣ２＝ＰＡ２＋ＡＣ２即ｍ２＋（ｎ＋２）２＝（ｍ＋１）２＋ｎ２＋５把ｎ＝ｍ２－ｍ－２代入得25m47n或ｍ＝－１（舍）ｎ＝０∴点Ｐ１（，）2547-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ２）当Ｒｔ△ＰＡＣ以ＰＡ为斜边时则ＰＡ２＝ＰＣ２＋ＡＣ２即（ｍ＋１）２＋ｎ２＝ｍ２＋（ｎ＋２）２＋５把ｎ＝ｍ２－ｍ－２代入得23m45n或ｍ＝０（舍）ｎ＝－２∴点Ｐ２（，）2345∴存在符合条件的点Ｐ，坐标为Ｐ２（，）2345∴点Ｐ１（，）2547【拓展提高】已知二次函数与轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C。223yxxx在抛物线上是否存在点N，NBCABCSS使得若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由。ABOCxy【走进考场】xABCxyO（2011，日照）请你说明理由．过点A作直线AC∥轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD请你写出点D的坐标；若不存在，如图，抛物线2(0)yaxbxa与双曲线kyx相交于点A、B。已知点B的坐标为，(2,2)tan4AOx且点A在第一象限内,的面积等于△ABC的面积．若存在，——锲而不舍，金石可镂lyPABOC·xABCS求求OCPBS四边形223yxxyPABOC·x通过本节课的复习我学会了……体会到了数学思想【硕果累累】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x轴的另一个交点为E。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D的坐标和对称轴；（3）求四边形ABDE的面积.