中考数学-二次函数动点面积专题(共32张PPT)

专题六与抛物线有关的动点面积问题面积是平面几何中一个重要的概念，它的计算关联着平面图形中的重要元素边与角．而由动点生成的面积问题，是重庆中考命题常见形式，此类题抢部分分易，得满分难，在解题的过程中一定要克服畏难或者放弃情绪，考生需要知道解答题是分步给分，解决此类题常用到以下与面积相关的知识：1.图形的割补；2.等积变形；3.等比转化．专题六丨与抛物线有关的动点面积问题类型动点面积问题知识储备题型作平行线连接原点利用相似比例图解题策略数形结合、分类讨论、转化等数学思想专题六丨与抛物线有关的动点面积问题例如图Z6－1，抛物线y＝－14x2＋x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC.点P为第一象限的抛物线上的一个动点，设P点的横坐标为m.(1)请问当m为何值时，△PCB的面积最大，求出最大面积．图Z6－1专题六丨与抛物线有关的动点面积问题解：(1)方法一：由抛物线y＝－14x2＋x＋3，得A(－2，0)，B(6，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－12x＋3.过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，S△PCB＝12PQ(xB－xC)＝12×6(－14m2＋32m)＝－34(m－3)2＋274，当m＝3时，最大面积为274.其实，三角形的面积就等于铅垂高乘以水平宽再除以2.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题方法二：连接OP，S△PCB＝S△PCO＋S△PBO－S△BCO＝12CO·xP＋12BO·yP－12OB·OC＝－34(m－3)2＋274.当m＝3时，最大面积为274.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题方法三：要使△PCB的面积最大，可以把BC当作底边，由于底边BC固定，当BC边对应的高最大时，△PCB的面积最大．把BC平移到与抛物线仅有一个交点的位置，此时抛物线上动点P到BC距离最远，即BC边对应的高最大．设直线BC平移后的解析式为y＝－12x＋b，因为BC平移后的直线与抛物线仅有一个交点，所以由方程组y＝－14x2＋x＋3，y＝－12x＋b，得到的方程－14x2＋x＋3＝－12x＋b只有一个实数根．由判别式等于0，可求出b＝214，此时P(3，154)，可求得△PCB面积的最大值为274.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题经验小结：方法二中转换面积的方法很好，好处在于△PCO，△PBO，△BCO都有一边在x轴或者y轴上，把它们作为底，那么高就可以用点的横纵坐标表示了，其实，这三个三角形的面积也是由铅垂高乘以水平宽除以2得到的．铅垂高不仅在求面积时用处很大，在求一些倾斜线段的长时也能提供很大的帮助．请看第(2)问．专题六丨与抛物线有关的动点面积问题(2)过点P作PM⊥BC于M，求PM的最大值．图Z6－2解析：(2)方法一：垂线段可以转化为三角形的高，因此用面积法；方法二：PM是一条垂线，随着P点的移动，PM的方向不变，过点P作一条y轴的平行线PQ，PM与这条线段的夹角与∠CBO相等，PM可用PQ与∠MPQ的余弦值表示．专题六丨与抛物线有关的动点面积问题方法一：面积法：∵S△PCB＝12BC·PM，∴PM＝2S△PCBBC＝－510(m－3)2＋9510.∴当m＝3时，PM的最大值是9510.方法二：转换到铅锤高：∵cos∠MPQ＝PMPQ＝255，∴PM＝255PQ＝－510(m－3)2＋9510.∴当m＝3时，PM的最大值是9510.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题经验小结：求面积时也用到了铅垂高，这两种方法在本质上是一样的．所以，对于一些倾斜的线段，我们要考虑把它转换为铅垂高，方便计算，转换的方法多用到相似或者三角函数．继续关注第(3)问．专题六丨与抛物线有关的动点面积问题(3)过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，若△CPQ为等腰三角形，求m的值．图Z6－3专题六丨与抛物线有关的动点面积问题(3)[解析]PQ＝－14m2＋32m，CQ用距离公式表示为CQ＝52m，这个三角形在移动过程中∠CQP不变，并且能求出它的所有三角函数，我们在解决这个问题时就要充分利用这个∠CQP.等腰三角形分三类：Q为顶点：QP＝QC；C为顶点：CP＝CQ；P为顶点：PC＝PQ.解：分以下三种情况进行讨论：①QP＝QC时，∴－14m2＋32m＝52m，解得：m1＝6－25，m2＝0(舍)，②CP＝CQ时，过点C作CH⊥PQ于H，∴HQ＝12PQ，cos∠CQP＝HQCQ＝12（－14m2＋32m）52m＝15，∴m＝2.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题③PC＝PQ时，过点P作PG⊥CQ，∴GQ＝12CQ，cos∠CQP＝GQPQ＝12（52m）－14m2＋32m＝15，∴m＝1.综上所述，当△CPQ为等腰三角形时，m＝6－25或m＝2或m＝1.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题|针对训练|1．如图Z6－4，直线l：y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4(a0)经过点B.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM.设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S.求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．图Z6－4专题六丨与抛物线有关的动点面积问题解：(1)直线l：y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，当y＝0时，x＝1；当x＝0时，y＝3.∴点A，B的坐标分别为(1，0)、(0，3)．∵点B(0，3)在抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4(a＜0)上，∴3＝a＋4，∴a＝－1.∴该抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题(2)方法一：设M的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，连接OM，如图①.∵S△ABM＝S四边形OAMB－S△AOB＝S△OBM＋S△OAM－S△AOB＝12×3×m＋12×1×(－m2＋2m＋3)－12×1×3＝－12m2＋52m＝－12(m－52)2＋258.∵点M在第一象限，∴0＜m＜3，∴当m＝52时，S有最大值258.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题方法二：过M作MN∥y轴，交直线AB于N，如图②.设M的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，N(m，－3m＋3)，∴MN＝－m2＋2m＋3－(－3m＋3)＝－m2＋5m，S△ABM＝S△MNB－S△MNA＝12MN(xN－xB)－12MN(xN－xA)＝12MN(xA－xB)＝12(－m2＋5m)(1－0)＝－12m2＋52m＝－12(m－52)2＋258.∵点M在第一象限，∴0＜m＜3，∴当m＝52时，S有最大值258.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题方法三：令y＝0代入y＝－x2＋2x＋3，∴0＝－x2＋2x＋3，∴x＝－1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为－1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，如图③.由题意知：M的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，∴D的纵坐标为：－m2＋2m＋3，∴把y＝－m2＋2m＋3代入y＝－3x＋3，∴x＝m2－2m3，∴D的坐标为(m2－2m3，－m2＋2m＋3)，专题六丨与抛物线有关的动点面积问题∴DM＝m－m2－2m3＝－m2＋5m3，∴S＝12DM·BE＋12DM·OE＝12DM(BE＋OE)＝12DM·OB＝12×－m2＋5m3×3＝－m2＋5m2＝－12(m－52)2＋258.∵0＜m＜3，∴当m＝52时，S有最大值，最大值为258.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题2．如图Z6－5，抛物线顶点为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.(1)求抛物线、直线AB的解析式和△CAB的铅垂高CD及S△CAB；(2)点P是抛物线上的一个动点，连接PA，PB，若S△PAB＝78S△CAB，求出P点的坐标．图Z6－5专题六丨与抛物线有关的动点面积问题解：(1)y1＝－x2＋2x＋3，y2＝－x＋3.∵C点坐标为(1，4)，∴当x＝1时，y1＝4，y2＝2，∴CD＝4－2＝2，∴S△CAB＝12×3×2＝3.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题(2)设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，①若P在直线AB上方，则h＝y1－y2＝(－x2＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x2＋3x，由S△PAB＝78S△CAB，得：12×3×(－x2＋3x)＝78×3，化简得：4x2－12x＋7＝0，解得x＝3±22.将x＝3±22代入y1＝－x2＋2x＋3，得y1＝13∓224，即P1(3＋22，13－224)，P2(3－22，13＋224)；专题六丨与抛物线有关的动点面积问题②若P在直线AB下方，则h＝y2－y1＝(－x＋3)－(－x2＋2x＋3)＝x2－3x，由S△PAB＝78S△CAB得：12×3×(x2－3x)＝78×3，化简得：4x2－12x－7＝0，解得x1＝72，x2＝－12.将x1＝72，x2＝－12代入y1＝－x2＋2x＋3，得y3＝－94，y4＝74，∴P点坐标为P3(72，－94)，P4(－12，74)．综上所述，存在满足条件的点：P1(3＋22，13－224)，P2(3＋22，13－224)，P3(72，－94)，P4(－12，74)．专题六丨与抛物线有关的动点面积问题3．如图Z6－6，在平面直角坐标系中，直线y＝12x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点．连接BC、CD.设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求S1S2的最大值．图Z6－6专题六丨与抛物线有关的动点面积问题解：(1)在y＝12x＋2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－4.∴C(0，2)，A(－4，0)．代入y＝－12x2＋bx＋c，得2＝c，0＝－12×（－4）2＋b×（－4）＋c，解得b＝－32，c＝2.∴抛物线的函数表达式为y＝－12x2－32x＋2.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题(2)如图，过点C作CH⊥BD于点H，则S1＝12DE·CH，S2＝12BE·CH.∴S1S2＝DEBE.过点D作DM∥y轴交AC于点M、过点B作BN⊥x轴交AC于点N，则DM∥BN.∴DEBE＝DMBN.在y＝－12x2－32x＋2中，当y＝0时，－12x2－32x＋2＝0，解得x＝－4或1.∴B(1，0)，A(－4，0)．专题六丨与抛物线有关的动点面积问题易求直线AC的解析式为y＝12x＋2，当x＝1时，y＝12x＋2＝52.∴N(1，52)，BN＝52.设D(t，－12t2－32t＋2)，则M(t，12t＋2)．∴DM＝－12t2－32t＋2－(12t＋2)＝－12t2－2t.∴S1S2＝－12t2－2t52＝－15(t＋2)2＋45.∴当t＝－2时，S1S2取最大值45.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题4．将直角边长为6的等腰直角三角形AOC放在如图Z6－7所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(－3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－7解：(1)y＝－13x2＋x＋6.专题六丨与抛物线有关的动点面积问题(2)设点P的坐标为(m，0)，如图，则PC＝6－m，S△ABC＝12BC·AO＝12×9×6＝27.∵PE∥AB，∴△CEP∽△CAB.∴S△CEPS△CAB＝(PCBC)2，即S△CEP27＝(6－m9)2.∴S△CEP＝13(6－m)2.∵S△APC＝12PC·AO＝12(6－m)×6＝3(6－m)，∴S△APE＝S△APC－S△CEP＝3(6－m)－13(6－m)2＝－13(m－32)2＋274.当m＝32时，S△APE有最大面积为2