人教版-数学基础模块上册5.2.1任意角的三角函数的定义

三角三角三角三角5.2.1任意角的三角函数的定义初中锐角三角函数定义(正弦，余弦，正切)思考角的范围已经推广，那么我们如何定义任意角的三角函数呢？斜边邻边Acos斜边对边Asin邻边对边AtanAB邻边斜边对边C任意角三角函数的定义已知是任意角，P(x，y)，P'(x'，y')是角的终边与两个半径不同的同心圆的交点，则由相似三角形对应边成比例得xyxy,ryry,rxrx由于点P，P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得．，，xyxyryryrxrxP'PyxOx'y'r'yxr所以当角不变时，不论点P在角的终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只依赖于的大小，与点P在角终边上的位置无关.设角的终边上的任意一点P（x，y），点P到原点的距离为r.于是我们有如下定义：rxrx比值叫做角的余弦.记作cosryry比值叫做角的正弦.记作sinxyxy比值叫做角的正切.记作tan依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应关系都是以角为自变量的函数，分别称作角的余弦函数、正弦函数和正切函数．计算三角函数值的步骤：S1画角在直角坐标系中，作转角；S2找点在角的终边上任找一点P，使OP＝1，并量出该点的纵坐标和横坐标；S3求值根据三角函数定义，求出角的三角函数值．三角函数求值例1已知角终边经过点P（2，-3）如图，求角的三个三角函数值．OyxP（2，-3）解已知点P（2，-3），则．　133222OPr．；；　23tan13132132cos13133133sinxyrxry例2试确定三角函数在各象限的符号．解由三角函数的定义可知，sin＝，角终边上点的纵坐标y的正、负与角的正弦值同号；rycos＝，角终边上点的横坐标x的正、负与角的余弦值同号；rxtan＝，则当x与y同号时，正切值为正，当x与y异号时，正切值为负．xy记忆口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦++xyosin--xcosyo+-+-tanxyo++--三角函数在各象限的符号如下图所示：(2)因为130是第二象限角，所以cos130＜0.练习1确定下列各三角函数值的符号：．3π4tan)4πsin((1)；(2)cos130；(3)(3)因为是第三象限角，3π4解(1)因为是第四象限角，4π3π4tan所以＞0.)4πsin(所以＜0.例3使用函数型计算器，计算下列三角函数值：(1)sin67.5，cos372，tan(－86)；(2)sin1.2，cos，tan．4π36π51.以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆.2.如图，角的终边与单位圆交于点P，则根据三角函数定义可知，点P的坐标x，y分别为cos和sin，即P(cos,sin).OMxA(1,0)y1P由于cos＝x＝OM；sin＝y＝MP，于是我们把规定了方向的线段OM称作角的余弦线，MP称作角的正弦线.单位圆与三角函数线(cos,sin)练习2（1）在单位圆中作出下列各角的正弦线、余弦线．（1）；（2）．3π3π2yxOyxO3πPM3π2PM如何画正切线？yxOATT'所以AT(AT')称作角的正切线．，因为　)(tanTAATxy附注通过单位圆研究三角函数的几何演示过程可在主界面单击“单位圆研究三角函数.gsp”文件观看.练习2（2）在单位圆中作出下列各角的正切线．（1）；（2）．3π3π2yxOyxO3πM3π2MTATA本节课所学知识点：1．任意角三角函数的定义（代数表示）．2．任意角三角函数值的求法（两种方法）．3．任意角三角函数值的符号（记住口诀）．4．任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．教材P138，练习A组，练习B组．