高一数学《方程的根与函数的零点》教学设计

3.1.1方程的根与函数的零点一、内容及其解析（一）内容：函数零点的概念，方程的根、函数零点与函数图象与X轴交点的横坐标的关系，零点存在性定理．（二）解析：本节课是关于函数零点的一节概念及探究课，是高中新课改人教A版教材第三章的第一节课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图象表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标。函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形、函数与方程有机的联系在一起。函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”。用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。二、目标及其解析（一）教学目标1．能够结合函数的图象判断相应方程根的存在性及根的个数，尤其是二次函数与一元二次方程情形下的判断；2．理解函数的零点与方程根的联系；3.渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。（二）解析1．对于常见函数的图象学生要有印象，要能用描点法画出一些复杂函数的图象，同时，研究函数的单调性、奇偶性等性质，来判断方程的根的存在与否和个数；2．函数的零点、方程的根、函数图象与X轴交点的横坐标具备等价关系，这种等价关系实质上是数学本质一致，只是各自有不同的描述对象而已，从而向学生渗透转化的数学思想；3．本节课对函数零点与方程的根的关系的探究、对函数零点存在性（即方程的根的存在性）的探究都是借助二次函数这一特殊的函数来进行的，由此推广到一般的情形，要注意推广的可行性、借助于函数图象的直观性，只要求学生理解其合理性并能对具体的函数进行简单应用。教学中，教师可以引导学生借助函数图象分析其逆定理的正确与否，由此达到充分理解此定理的目的。三、问题诊断分析通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。由此作为函数应用的第一课时，有必要点明函数的核心地位，即说明函数与其他知识的联系及其在生活中的应用，初步树立起函数应用的意识。并从此出发，通过问题的设置，引导学生思考，再通过实例的确认与体验，从直观到抽象，从特殊到一般的学习方式，捅破学生认识上的这层“窗户纸”。对于零点存在的判定定理，教材不要求给予其证明，这需要教师提供一定量的具体案例让学生操作感知，同时鼓励学生举例来验证，最终能自主地获得并确认该定理的结论。对于定理的条件和结论，学生往往考虑不够深入，需要教师通过具体的问题，引导学生从正面、反面、侧面等不同的角度重新进行审视。函数的零点，体现了函数与方程之间的密切联系，教学中应遵循高中数学以函数为主线的这一原则进行联结，侧重在从函数的角度看方程，同时为二分法求方程的近似解作知识和思想上的准备。四、教学过程设计1．函数零点与方程的根的关系问题1：完成①②③，并回答问题（1）（2）：①方程2230xx的解为，函数223yxx的图象与x轴有个交点，坐标为.②方程2210xx的解为，函数221yxx的图象与x轴有个交点，坐标为.③方程2230xx的解为，函数223yxx的图象与x轴有个交点，坐标为.根据以上结论，可以得到：（1）一元二次方程20(0)axbxca的根就是相应二次函数20(0)yaxbxca的图象与x轴交点的.（2）你能将结论进一步推广到()yfx吗？设计意图：通过对具体的一元二次方程的根与相应函数与x轴交点的横坐标的关系的探究得出一般的结论，为方程的根与函数零点的关系的探究埋下伏笔．师生活动：学生探究，教师巡视并提问，最后板书：一般地，方程()0fx的根就是相应的函数()yfx的图象与x轴的交点。问题2：给出零点的概念：对于函数()yfx，我们把使()0fx的实数x叫做函数()yfx的零点（zeropoint）.据此，请回答：函数()yfx的零点、方程()0fx的实数根、函数()yfx的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？（1）函数244yxx的零点为；（2）函数243yxx的零点为.设计意图：给出零点的概念，让学生探究函数零点、方程的根、函数与横轴交点的关系，并通过具体的问题让学生加深零点这一概念的印象．师生活动：教师板书零点概念，提出问题，学生回答，教师评价并作出小结：方程()0fx有实数根函数()yfx的图象与x轴有交点函数()yfx有零点.2，零点存在性定理问题3：①作出243yxx的图象，求(2),(1),(0)fff的值，观察(2)f和(0)f的符号；②观察下面函数()yfx的图象：在区间[,]ab上零点；()()fafb0；在区间[,]bc上零点；()()fbfc0；在区间[,]cd上零点；()()fcfd0.新知：如果函数()yfx在区间[,]ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()fafb0，那么，函数()yfx在区间(,)ab内有零点，即存在(,)cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根.设计意图：引导学生探究零点存在性定理．师生活动：引导学生探究得到零点存在性定理之后，进一步引导学生讨论：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？试结合图形来分析.3，概念的巩固和应用例：求函数()ln26fxxx的零点的个数.设计意图：考察函数零点的个数，让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．师生活动：为了进一步加强对零点的认识，可以设计如下变式：求函数()ln2fxxx的零点所在区间.然后小结函数零点的求法：①代数法：求方程()0fx的实数根；②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()yfx的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．最后给出两道练习题，作为检测：练1.求下列函数的零点：（1）254yxx；（2）2(1)(31)yxxx.练2.求函数23xy的零点所在的大致区间.