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黄海游踪苏雪林黄山是我们安徽省的大山，也可说是全中国罕有的一处风景幽胜之境。据所有黄山图志都说此山有高峰与水源各３６，溪２４，洞１８，岩８，高１１７０丈，所占地连太平、宣城、歙县三县之境，盘亘３００余里。相传我们的民族始祖皇帝轩辕氏与容成子、浮丘公曾在此山修真养性并炼制仙丹，这座山名为黄山，是纪念黄帝的缘故。民国２５年夏，我约中学时代同学周莲溪、陈默君共作黄山消夏之举，遂得畅游此山，并在山中住了半个月光景。于今事隔２０余年，我也曾饱览瑞士湖山之胜，意大利阿尔卑斯峰峦林壑之奇，法班两境庇伦牛司之险，但黄山的云烟却时时飘入我的梦境。我觉得黄山确太美了，前人曾说黄山的一峰便足抵五岳中之一岳，这话或稍失之夸诞，但它欲把天下名山胜境浓缩为一，五步一楼，十步一阁，盘旋曲折，愈入愈奇，好像造物主匠心独运结撰出来的文章，不由你不拍案叫绝。现凭记忆所及，将２０年前游踪记述一点出来。黄山第一站名“汤口”。距汤口尚十余里，山的全貌已入望，两峰矗天，有如云中双阙，名曰“云门峰”。凡伟大建筑物，前面必有巨阙之属为其入口，黄山乃“天工”寓“人巧”的大山水，无怪要安排一个大门。那气象真雄秀极了路边苦李王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动…别人问他为什么王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?小故事:王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘完了,这与“多子”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.与结论相反甲：在五一长假里，我和爸爸、妈妈去新加坡玩了整整6天，真是太高兴了.乙：这不可能，5月4号上午还看见你和丙在“长廊”逛街呢！丙：是啊,5月4号我确实和甲在“长廊”逛街！假设甲去新加坡玩了6天，乙：甲没有去新加坡玩了6天.那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在新加坡，即5月4号甲在新加坡，这与“5月4号甲在达州市的“长廊””矛盾,所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确,于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.14.1.3反证法城区数学组3号一、问题情境小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”你能对小华的判断说出理由吗？假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。小华的理由：我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。380人中至少有两个人的生日相同。证明下列命题假设380人中每两人的生日发都不同，那么一年会有380天，这与一年有365天（或366天）不符合，因此是不可能的，所以假设是不成立的，从而得到380人中至少有两个的生日相同解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2.如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ACCabc一、复习引入探究：假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立。在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°，请问结论a2+b2≠c2成立吗？请说明理由。ACBabc问题：这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的逻辑推理,得出与已知、定理、公理、定义矛盾的结论，从而得到原结论正确。象这样的证明方法叫做反证法。发现知识：证明真命题的方法直接证法间接证法反证法教材12页的阅读材料，其实也是利用反证法来证明不是有理数，说明我们其实已经接触过反证法了，下面请同学们再去回味一下，现在你该知道是怎样证明的了吗？2小结：反证法的步骤：1.假设结论的反面成立2.正确推理得出矛盾3.肯定原结论正确1.已知2.定理3.公理4.定义2.在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠CABC证明：假设，则（）这与矛盾．假设不成立．∴．∠B＝∠CAB＝AC等角对等边已知AB≠AC∠B≠∠C1.写出下列各结论的反面（1）a是实数（2）a小于2（3）两条直线平行a不是实数a大于或等于2两直线相交结论的反面与已知矛盾三、应用新知在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠CABC证明：假设，则（）这与矛盾．假设不成立．∴．∠B＝∠CAB＝AC等角对等边已知AB≠AC∠B≠∠C小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例１尝试解决问题感受反证法:证明：假设a与b不止一个交点，则可以假设有两个交点A和A’。小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾例1求证：两条直线相交只有一个交点。已知：如图两条相交直线a、b。求证：a与b只有一个交点。abA●A，●∵两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾假设不成立∴两条直线相交只有一个交点。1.反证法否定的是结论，而不是已知条件2.周密考查原命题结论的反面，如果不只是一种情况，必须把各种情况列举出来并逐一否定后才能证明原结论正确3.在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结论是错误的万事开头难，让我们走好第一步！写出下列各结论的反面：（1）a//b；（2）a≥0；（3）b是正数；（4）a⊥ba0b是0或负数a不垂直于ba∥b求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设，则。∴，即。这与矛盾．假设不成立．∴．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A60°,∠B60°,∠C60°∠A+∠B+∠C60°+60°+60°=180°∠A+∠B+∠C180°三角形的内角和为180度△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.点拨：“至少”的反面是“没有”，“至多”的反面是“不止”！例2例3用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角已知：在△ABC中，AB=AC求证：∠B、∠C为锐角证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：（1）两个底角都是直角∵∠B=∠C=90°∴∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°180°这与三角形内角和定理矛盾∴∠B=∠C=90°这个假设不成立（2）两个底角都是钝角∵90°∠B180°90°∠C180°∴∠A+∠B+∠C180°这与三角形内角和定理矛盾∴两个底角是钝角的假设也不成立故原命题正确∴等腰三角形的两底角必定是锐角点评：如果不只是一种情况，必须把各种情况列举出来并逐一否定后才能证明原结论正确证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//babc练习1：A那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾”∴假设不成立。即a//b.与公理矛盾1、试说出下列命题的反面：（1）a大于2。（2）至少有2个（3）最多有一个2、用反证法证明“若a2≠b2,则a≠b”的第一步是。3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步。a小于或等于２没有两个一个也没有假设a=b假设这个三角形是等腰三角形已知：如图在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC求证：PB≠PC证明：假设PB=PC在△ABP与△ACP中，AB＝AC（已知）AP＝AP（公共边），PB＝PC（已知）∴△ABP≌△ACP（SSS）∴∠APB＝∠APC（全等三角形对应角相等）这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立∴PB≠PCACBP反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的，一人命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反。”遇到哪些问题用反证法更简单一些呢？1.“否定性”命题，即命题的结论是以否定形式出现的；2.“唯一性”命题，即命题的结论是以“…唯一存在…”、“…只有一个…”等形式出现的；3.“至多”、“至少”命题，即命题的结论是以“…至多…”、“…至少…”等形式出现的；4.一些逆命题；1、知识小结：反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论2、难点提示:利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。（如至少的反面是没有，最多的反面是不止）先假设命题的结论不成立从假设出发正确推理得出矛盾的结论得出假设命题的结论不成立是错误的即所求证的命题的结论正确归谬结论反设反证法回顾与归纳先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法叫做反证法是数学家最精良的武器之一——牛顿