第5章-分析力学

牛顿力学1、数学空间、广义坐标2、侧重“力”，“加速度”3、以牛顿三定律为基础4、运用微积分1、真实空间、一般坐标分析力学2、能量（L函数、H函数）3、哈密顿原理(公理)为基础4、运用变分说明：从牛顿力学可推导出虚功原理、拉格朗日方程和哈密顿原理，即从经典力学的一个理论体系可推导的方法得出另一个经典力学的理论体系，但分析力学本身是一个独立、完整的理论体系。第五章分析力学§5.1约束与广义坐标一、约束方程由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束.0vgm初始条件和受力决定轨迹是直线约束物：铁丝0,0zx限制：Oyx限制包括对位置和对速度的限制.设系统由n个质点组成,以xi,yi,zi表示第i个质点的坐标,则约束方程为0),,,,,,(tzyxzyxfiiiiiini,...,2,1（1）球面摆的约束，OM为刚性轻杆OMmlxyz设O点为直角坐标原点，则质点m的坐标方程满足02222lzyx若O点不固定，在x方向有一恒定速率v，t＝0时O点处于坐标原点，则约束方程为02222lzyvtx若刚性轻杆换成柔软轻绳（绳长仍为l，不可伸长），则约束方程为O点固定O点不固定02222lzyx02222lzyvtx（2）半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动,约束方程表示为00Rxycc在一定初始条件下积分可得0RxRycc两组约束方程分别表明了地面对车轮的位置和速度的限制.(3)在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀,冰面对冰刀横向运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着冰刀的纵向.以冰刀的质心坐标xc,yc和转角作为冰刀的位置坐标,则冰刀的约束方程为cotccyx上式还可写成ccyxdcotd由于cot与yc的函数关系不能确定,所以不可积分.二、约束的分类1.完整约束（几何约束）和非完整约束（微分约束）约束方程仅含质点的坐标和时间的约束称为完整约束.约束方程形式为0),,(,tzyxfiii如果约束方程不仅包含质点的坐标,还包含坐标对时间的导数或坐标的微分,而且不能通过积分使之转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程,则这种约束称为非完整约束,其约束方程形式为0),,,,,,(tzyxzyxfiiiiii不受非完整约束的系统称为完整系本教材只研究OMmlxyzOM为刚性轻杆O点固定O点不固定02222lzyx02222lzyvtx02222lzyx02222lzyvtxO点固定O点不固定OM为柔软不可伸长轻绳完整约束完整约束完整约束完整约束积分00Rxycc0RxRycc完整约束cotccyxccyxdcotd非完整约束2.定常约束(稳定约束)和非定常约束(非稳定约束)约束方程中不显含时间t的约束称为定常约束约束方程形式为0),,,,,(iiiiiizyxzyxf约束方程中显含时间t的约束称为非定常约束约束方程形式为0),,,,,,(tzyxzyxfiiiiii3.双侧约束(不可解约束)和单侧约束(可解约束)若约束方程是等式,这种约束就是双侧约束.若约束方程含有不等式,就称为单侧约束.4.理想约束和非理想约束(根据约束力的性质划分)OMmlxyzOM为刚性轻杆O点固定O点不固定02222lzyx02222lzyvtx02222lzyx02222lzyvtxO点固定O点不固定OM为柔软不可伸长轻绳完整约束完整约束完整约束完整约束定常约束定常约束非定常约束非定常约束双侧约束双侧约束单侧约束单侧约束积分00Rxycc0RxRycc完整约束cotccyxccyxdcotd非完整约束定常约束双侧约束定常约束双侧约束三、自由度对于完整系,确定系统位置所需要的独立坐标的数目,称为该系统的自由度,用s表示.一个自由质点3s质点被约束在曲面上213s约束方程数质点被约束在曲线上123skns3n个质点，受k个完整约束推广：n个质点，m个刚体，受k个完整约束kmns63一步是做任何一道题目的第?s例、一卧倒的圆锥限制在一个平面上的运动（接触点可以滑动）.ABOxy解：A点的位置由坐标(x,y)表示对称轴方位可由接触线AB与x轴夹角确定圆锥自转角由确定4s例、两个叠放在一起的陀螺，下面的陀螺支点固定.O'O633sa2ABCD例、长度同为l的四根轻杆,用光滑铰链连接成一菱形ABCD.AB,AD两边支于同一水平线上相距为2a的两根钉上,BD间则用一轻绳连接,C点上系一重W的物体.求系统自由度.解:有绳连接时,系统的自由度为0将绳子剪断,系统的自由度为1例、长为l的细杆AB的一端被约束在水平桌面上,确定其自由度.ABOxyz法一刚体,细杆,无绕轴自转,A点被限制在平面上,s=6.xA,yA,zA,,,s=5.s=4.法二A,B两点确定,细杆位置确定,BBBAAAzyxzyxs,,,,,62222)()()(0lzzyyxxzBABABAA2个约束方程:426s四、广义坐标在给定的约束条件下，能够完全确定力学系统位置的一组相互独立的变量称为系统的广义坐标.•在完整系中,广义坐标的数目与自由度数目相等.•对于一个给定的系统,广义坐标的数目是一定的,而广义坐标的选择不是唯一的.BAAAxzyx,,,?不可以BBAAyxyx,,,?可以,,,AAyx?最佳1、广义坐标广义坐标一般用符号q表示,如果系统有s个自由度,就需要s个广义坐标q1,q2,…,qs.也可缩写成q,=1,2,…,s.2、坐标变换方程广义坐标与直角坐标的变换关系——坐标变换方程.),,,,(),,,,(),,,,(212121tqqqzztqqqyytqqqxxsiisiisiini,,2,1),,...,,(21tqqqrrsiini,...2,1或写成矢量形式为广义坐标，如果选择,,,AAyx则坐标变换方程为AAxxAAyy0AzcossinlxxABsinsinlyyABcoslzB广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对应的广义速度,写成tqqaadd1、实位移＝位移•满足动力学方程（牛顿第二定律）和初始条件rtdd才能有位移经过时间间隔•只有一个内质点的真实位移在rtdd••满足约束条件rrd，也可以是无限小真实位移可以是有限大•§5.2虚功原理一、实位移与虚位移质点受完整约束,被限制在一个曲面上，曲面方程为0),,,(tzyxf在t+dt时刻,质点坐标应满足0)d,d,d,d(ttzzyyxxf泰勒级数展开并忽略高阶小量0dddd),,,(ttfzzfyyfxxftzyxf0rfd是曲面的梯度,方向沿曲面法线方向0tf一般情况下，0drf平面内一般不在质点所在的切实位移rd2、虚位移定义：质点在满足当时约束条件下一切可能的无限小位移,称为该时刻质点的虚位移.•“当时”，在某时刻讨论问题.即虚位移是在一确定时刻发生的，是不需要时间的.•“一切可能”，虚位移包括一切可能的无限小位移,故有多个甚至无穷多个.•“无限小”，虚位移是一级无穷小位移.kzjyixrδδδδ,,δ在直角坐标系中表示虚位移通常用r•称为在坐标轴上的投影是,δδ,δ,δrzyx坐标的变分1t质点在t1时刻的虚位移应满足的方程是0),δ,δ,δ(1tzzyyxxf泰勒展开,忽略高阶小量0),,,(ttfzzfyyfxxftzyxf00rf0δrfrfδ质点的虚位移位于质点所在位置的曲面的切平面上.定常约束中,实位移是所有虚位移中的一个.对于非定常约束,虚位移所满足的方程和实位移所满足的方程是根本不同的.二、虚功和广义力1、虚功rFWδδ•虚功有功的量纲，但没有能量转化过程与之联系.•虚位移的多种可能导致虚功也有多种可能.在分析力学中,通常将相互作用力分为主动力和约束力.因此就存在着主动力的虚功和约束力的虚功.主动力的虚功:的标积，与质点任一虚位移力定义：作用在质点上的rF虚功上的称为此力在虚位移r功之和为则系统所有主动力的虚个质点的虚位移表示第和个质点受到的被动力之表示第受到的主动力之和个质点表示第个质点对于第质点组成设系统由,,,,,iriFiFiniRiiiniirFWδδ1设坐标变换方程为),,...,,(21tqqqrrsii直角坐标的3n个坐标不一定是独立的,而s个广义坐标是独立的ni,...,2,1等时变分,0tni,...,2,1qqrrsiiδδ1asniaiiqqrFδ11qqrFWsiniiδδ11广义力qrFQinii1qQWsδδ12、广义力n个质点,i=1,2,…n,s个自由度,q1,q2,…,q,…qs,=1,2,…sqrFQinii1广义力niiiziiyiixqzFqyFqxFQ1,或3、有势系下的广义力主动力均为有势力的力学系统称为有势系.体系n个质点,第i个质点受到的主动力为),,,(tzyxFFii),,,2,1(0niFi若则此体系称为有势力系.这时,体系对应势函数),,,,(21trrrVVnnitrVVi,,2,1),(或nitzyxVViii,,2,1),,,(或将Fix,Fiy,Fiz代入广义力的定义式中niiiiiiiqzzVqyyVqxxVQ1s,...,2,1qVQs,...,2,1体系所有主动力都可表示成此势函数对相应坐标的负梯度),,2,1(niVFiiiixxVFiiyyVFiizzVF这就是有势系广义力的表达式.三、理想约束如果作用于力学系统的所有约束力在任意虚位移上的虚功之和为零,即01iniiRrF则这种约束称为理想约束.(整体上的约束)几个常见的理想约束的例子:(1)光滑的线、面NiririrNirN0irN0dirN线、面静止，0dirN线、面运动，(2)圆柱(刚体)在粗糙面上做无滑滚动NfP0Pv0Pr0PPrfrN(3)光滑铰链(门上的合页)1N2N2211rNrN121rN相对位移0(4)质量可忽略的刚性轻杆所连接的两个质点12O1r2r12r1RF2RF21RRFF2211rFrFWRR121rFR12121erFR0(5)两个质点以柔软不可伸长的轻绳相连1m2m1TF2TF2211rFrFWTT00211rrFT00绳子不可伸长四、虚功原理受有理想约束[、定常约束]的力学系统,保持[静]平衡的必要[充分]条件是作用于该系统的全部主动力的虚功之和为零.0δ1iniirF在直角坐标系中,上式写成0)δδδ(1iiziiyiniixzFyFxF当力学系统相对惯性系处于[静]平衡时,0RiiFFni,...,2,10δ)(iRiirFFni,...2,10δδ11iniRiiniir