南京理工大学-高等动力学课后习题答案及考题解答

理工大机械论坛（）说明：本资料由Coofish花费大量心血制作，使用此资料时请心存感激！机械学子，心心相连！高等动力学（上）课后习题答案第一篇运动学第三章刚体绕固定点的转动和刚体的一般运动（P85）1、'''''''()iipiqjrkiqkrω=×=++×=−+i'j''''''''()jjpiqjrkjpkrω=×=++×=−ii'qi''''''''()kkpiqjrkkpjω=×=++×=−+i2、''piqjrkω=++'''''''''''''''''''''()()dpiqjrkpipiqjqjrkrkdtpiqjrkpiqjrkpiqjrkpiqjrkεωωωω==++=+++++=+++×++=+++×=++iiiiiiiiiiiiiiii故题目得证。3、下面证明题目中第一条等式，其他两条同理可得。'''11'''11'''22'''22'3()()()()()()iiijikiijikijijjjkijjjkjkiαβγαωβωγωαβγαωβωγωα1122=⋅=⋅=⋅=⋅×=⋅×=⋅×=⋅=⋅=⋅=⋅×=⋅×=⋅×=⋅iiiiii''3'''33'''''232333()()()()()(kjkkikjkkk)jikijkjkkkjijkβγαωβωγωααββγγωωαβγ33233=⋅=⋅=⋅×=⋅×=⋅×++=×⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=×⋅++iiiiii'''''()jkjkipωωω=×⋅=⋅×=⋅=4、（1）ABvvABω=⇒直线与平行00ABBAABBAvvrvvrABωωωω=+×=∴×=≠∵∵且又故直线与平行（2）ABABvvω⇒=直线与平行0BAABBAABABrvvrvvωωω∴×==+×∴=∵∵直线与平行又理工大机械论坛让你学习更轻松！理工大机械论坛（）7、由题易得：240ψϕθ=−==iiisinsincos23cos2cossinsin23sin2cos023cos223sin22343sin243cos243xyztttitjtitjωϕψθθψωϕψθθψωψϕθωωεωε=+==−+=−=+=∴=−⇒===−−⇒=iiiiiii8、设锥角为α，2121tan2rrhhωωαωω==⇒=9、圆锥作定点运动，取圆锥的对称轴为轴，则章动角'ozθ=常数。圆锥角速度''kknkkωψϕθψϕ=++=+iiiii0t=时，圆锥与固定平面的接触线为轴，由纯滚动条件得ox为圆锥的瞬时转动轴，即为瞬时角速度方向。oxkψizxoω'zαC'kϕiAtan3/4/sin3/5/CAAvvrαψωαψϕω=====+×iiiC因为A在瞬时转动轴上，所以0Av=。则：sin(/2)CACCACvrvrωω=×⇒=π得：48/(12/5)20(3/4)15(5/3)25ωψωϕ======iiψi0t=时，'1525kkω=+因为瞬时转动轴始终在xoy平面内，所以ω也在xoy平面内，0zω=即xyijωωω=+15ttψψ==icos20cos15sin20sin1520cos1520sin15300sin15300cos15300xytttitjtitjωωψωωψωε====ε∴=+⇒=−+⇒=理工大机械论坛让你学习更轻松！理工大机械论坛（）14、薄圆轮绕作定点转动。若取图示为轴，易知章动角'o''oz2πθ=（常数）。因而薄圆轮角速度为。''1kkkkkψϕωϕϕΩ=+=+⇒=Ω×iiii'ε=ΩizRoyxrMϕ'o'z'x'yQ1ω对图示接触点，有：Q111()1()''1112'1'222'''''21110(1)(2)(2)(1):(sincos)cosQQQBRRvvvRrrrRRkkkrrRjrroMRRarjRkrjriiRrrωϕ'kωωωϕϕϕωωεωωεωωεϕϕω=⇒=⇒=⇒=⇒=−ϕ∴=Ω×Ω=−==∴=×=×+−=+iiii∵把代入22221'22222'2'11112222221cos()(1cos)(sinsin)(1cos)2sin()(cos)22BCCRaRrrkiarRR'RkrjrrarRRrrωϕωωiωϕϕωϕωϕϕϕ∴=+=∴=Ω×Ω×=−−−+−−∴=++∵18、设接触点为，接触点为Q。因为球作纯滚动，所以在接触点上有相同的速度，在接触点上也有相同的速度。设沿OC,bc,aP,acC,bcc方向上的单位矢量为e。理工大机械论坛让你学习更轻松！理工大机械论坛（）2212PbCCPbOPCCCPQaOQCCCQQaCCabCCbavbevvrvrabvrvrvaevabvabωωωωωωωωωωω−⎧=×=+×⎧⎪=×=+×⎪⎪⇒⎨⎨−=×=+×⎪⎪⎩=×=+×⎪⎩−==−ee解得：()ababeωω+×第三篇刚体动力学第一章物体的二次惯量矩（P254）1、（1）zxJJJ⇒=+薄片平面y(3)ρ02222()()()0,0()(1)(2)(1)(2)(3)zyxVVVzxyzJxydVJxdVJydVJJJρρ∴==+===+∫∫∫∵厚度为由式，得：（2）zxyJJJ=+⇒薄片平面222222()()()2222222()()()()()()()()()()0zxyVVVzxyVVVVJxydVJzydVJxzdVJJJxydVzydVxzdVzdVzρρρρρρρ=+=+=+=+∴+=+++⇒=⇒∫∫∫∫∫∫∫∵并且即该刚体为薄片平面=2、ξ轴在xoy中的方向余弦为(cos,sin)θθ22222cossin2sincosxyxyxyJJJJJJξξξξξxyJαβαβθθθθ=+−=+−η轴在xoy中的方向余弦为(sin,cos)θθ−22222sincos2sincosxyxyxyJJJJJJηηηηηxyJαβαβθθθθ=+−=++下面求出两坐标系之间坐标变换关系：设点在Pxoy中坐标为(,)xy，在oξη中坐标为(,)ξη由几何关系，得：cossincossinxyyxξθθηθθ=+⎧⎨=−⎩()()2222()()()022(cossin)(cossin)()sincos(cossin)()sincos(cossin)VVVVVzxyxyJdVxyyxdVydVxdVxydVJJJξηρξηρθθθθρρθθθθρθθθθ===+−=−+−=−+−∫∫∫∫∫理工大机械论坛让你学习更轻松！理工大机械论坛（）~OJJoJJJξξηξηηξη−⎡⎤∴=⎢⎥−⎣⎦刚体对坐标系的惯量矩阵为：第三篇刚体动力学第三章刚体定点转动和一般运动动力学（P323）1、'''''oGApiBqjCrkpiqjrkω=++=++'混合积：'''''''()()()0,,ABooGkApjBqipiqjrkGkωω=×⋅=−+⋅++=故三者共面***^'22*222^*222222222**2^'222222*211cos(,)1112cos(,)111cos(,)1cos(ooorooroooooroooooorkrAACrTCGGACrrACCrCrGkGACrACACGωλωλωλωωλωλωωωωωλλωλ======+⎛⎞+⎜⎟⎝⎠++===++++===++令令令当时:2^^2'222^^^^''^^''2^^^'''11,)1cos(,)111(,),(,)[0,](,)(,)(1)21cos(,)cos(,)1(,),(,)[0,](,2oooooAACkCACGkGkGkkGkkGkλωλλλλπωωωωωλπω+=++++∈∴=+∈∴∵∵^'')(,)(2)(1)(2),okACGkωω由得，当时位于和之间。ω'oACGkω同理可证：当时,位于和之间。3、设为刚体在o点的惯性主轴坐标系。'''oxyz''''''222001()02ooGApiBqjCrkpiqjrkGAppBqqCrrdTTApBqCrAppBqqCrrdtεωε=++==++⋅=∴++==++⇒=++=⇒iiiiiiiiii∵动能为常量理工大机械论坛让你学习更轻松！理工大机械论坛（）5、由题图可知，刚体为均质圆盘，取为刚体在质心处的惯性主轴坐标系。'''oxyz则有：12ABC==2*22^*222222**)221222^2cos(,)11121144411221145434525(,oooooorACoACrTGGACrrACACGωλωωωωωλλλλλλλλλλλλλλω==+==+++=+++=++++==−≥−=++++⋅+∴令(o22)arccos19.53≤6、令固定坐标系的轴（进动轴）沿不变的动量矩oxyzozoG''xy方向，设固连于刚体并令其各轴沿刚体在点的惯量主轴方向，同时使'''oxyz'zJCo,,JAJB===，因为是均质圆盘，故12ABC==。22cossinooorrpqωαω=⋅==+=*（常数）ωα（PS：进动角速度在上投影=角速度在上投影）''oxy''oxy圆盘的动量矩为：22222222*()()()(2)13cosooGApBqCrAArAωωα=++=+=+^'22cos2cos1(,),costantan213cos13cosoooooCrCGkGAωααθθθωαα====⇒=++α均质圆盘规则进动角速度=自转+进动，自转沿'oz方向，进动沿方向。oz角速度在平面内投影：''oxy22*sinsinopqωωα=+==Ωθ222sin13cossin13cossin1cosoooωααωαωθα+α∴Ω===+−10、设固连于刚体并令其各轴沿刚体在点惯性主轴方向。'''oxyzo理工大机械论坛让你学习更轻松！理工大机械论坛（）由题意，得：()MCλωω=−为刚体角速度欧拉动力学方程：'''()()(1()()(2()()(3ixiiyiiziApCBrqmFBqACprmFCrBAqpmF⎧+−=⎪⎪⎪+−=⎨⎪⎪+−=⎪⎩∑∑∑iii)))BA=并且''''^'^'^'()cos(,)(3)0(4)()cos(,)(2)()()cos(,)izitzoiyiixirmFMkCCrrrreqmFMjCCqAqACprCqpmFMiCλωλωλωλωωλωλωλωλωω−=−=−=−+=∴==−=−=−+−=−(5)=−=−=−∑∑∑ii由得：由得：''''(1)()()()sin()cos(),tzotzoCtCtttAAzozoCpApCArqCpAqACpeCqApCAqeCpnnpaeeqaeeCAanAλλλλλλλλωλωλεελλωεω−−−−−−+−=−(6)⎧+−=−⎪(4)(5),(6)⎨⎪+−=−⎩⇒=+=+−=iii由得：把代入得：其中，和都是常数，而12、取莱沙尔坐标系，连体系，刚体绕点作规则进动。由题意知，只有处产生附加反力，对点的力矩为'oNLz'''oxyzANoAoAMNa=。设自转角速度为1ω，进动角速度为2ω=Ω，刚体角速度'kk+Ω1=ωω。在平面上投影：''oxy^'sin(,)sinkωωθ=ΩsinsinrRRrθωθω∴=Ω⇒=Ω几何关系：2222cossinsin()/()sincoscos()/()hbrabhrbrbrabharbrθθθθθθ=+⎧=++⎧⇒⎨⎨=+=−+⎩⎩理工大机械论坛让你学习更轻松！理工大机械论坛（）hCar1ωbRθoN2ωω'zLzAN2121^'1122222222222224sin(1cos)cos(,)coscos(sincos)1()(1[()(AnNAA