27.2(2--3)垂径定理

LOGO27.3（2）垂径定理条件:（1）过圆心；（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的弧结合图形:∵CD是⊙O的直径（1）AB⊥CD（2）∴AM=BM(3)弧AD=弧BD（弧AC=弧BC)（4）问题1如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），CD与AB交于点M.（1）如果AM=BM，那么CD与AB垂直吗？（2）如果AD=BD，那么CD与AB垂直吗？·CDABOM如果弦AB是直径，（1）中的结论还成立吗？·CDABO如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧.在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径，由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上.问题2如图，在⊙O中，弦CD与弦AB交于点M.(1)如果AM=BM,AD=BD,那么CD与AB垂直吗？(2)如果CD⊥AB,垂足为点M，AD=BD,那么AM与BM相等吗？·CDABOM如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦.如果一条直线垂直于弦，并且平分这条弦所对的弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦.在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立.当条件为“直线经过圆心”、“平分弦”时还要指出这条弦不是直径，才能推出其余两组关系也成立!!!画图叙述垂径定理及推论，并说出定理的题设和结论。题设结论①直线CD经过圆心O②直线CD垂直弦AB③直线CD平分弦AB④直线CD平分弧ACB⑤直线CD平分弧AB想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？OBCDAE①③②④⑤②③①④⑤①④②③⑤②④①③⑤①②⑤①②④④⑤①②③③④③⑤例题3如图，已知⊙O中C是AB的中点，OC交弦AB于点D，∠AOB=120°，AD=8.求OA的长.·ABCDO例题4，已知AB，用直尺和圆规平分这条弧.作法1.联结AB.2.作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C，MN交AB于点D.AB被点D平分.ABMNCD填空：如图，在⊙O中（1）若MN⊥AB，MN为直径；则（），（），（）；（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则（），（），（）；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则（），（），（）；（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则（），（），（）。COBAMN我能行！一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦填空：1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.。OAEDCB。OAB第1题图第2题图AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD）24H选择：如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为（）A、3B、2C、1D、0。OCDBAA2、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。OABSolvestheproblem2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∴∵OE⊥ACOD⊥AB在△ABC中，∠C=900，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。CBDA变形4、若⊙O的直径为10，弦AB=8，E是AB上任意一动点,则OE的最小值是。O·AB3变形5、线段OE长的取值范围的是。3≤OM≤5变形5、半径为5的⊙O内有一点P,且OP=3,则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是。O·AB810我发现了……我学会了……我的体会是……我的困难是……我……“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.变式1：PA=PCAB=CD