矩形截面杆、薄壁杆的扭转

矩形截面杆、薄壁杆的扭转矩形截面杆的扭转柱形杆截面的扭转应力函数F(x,y)要满足的条件：22FkyxF),(1、泊松方程：(在柱形杆横截面所组成区域R内)。2、边界条件：（在横截面的周界C上）。对于矩形截面杆件的扭转问题，能否像椭圆截面杆件扭转问题一样假设扭转应力函数为其横截面的周界方程？2222(,)()()FxyBxayb显然这个应力函数虽然满足边界条件，但不满足泊松方程。由于根据边界条件难以直接确定满足基本方程的扭转应力函数，因此首先简化扭转问题的基本方程。答：不能。假设扭转应力函数为一狭长矩形截面杆的扭转0FFdF,xydy设矩形截面的边长为a和b。若a/b的值很大(图1示)，则称为狭长矩形。由薄膜比拟法可以推断，应力函数F在横截面的绝大部分上几乎与坐标x无关，于是有yaxbo则22F222dFdy变为常微分方程图1而边界条件为0)2(byF22()4bFy此时,方程的解为代入于是得2DFdxdy232222222()43ababRbabDFdxdyydydx33TTGDGab(1-1)(1-2)(1-3)由式(1-1)求得应力分量360zxzyFTaGyyabFaGx2by(1-4)这个应力表达式除在狭长矩形截面的短边附近外,对截面的大部分区域都是正确的。由薄膜比拟法可知，最大剪应力发生在矩形截面的长边上，即，其大小为max223||bzxyTab(1-5)二任意边长比的矩形截面杆的扭转在狭长矩形截面扭杆应力函数(1-1)的基础上，加上修正项F1，即221(,)(,)4bFxyyFxy22F(,)0,(,)022abFyFx(1-6)函数F应满足方程，将式(1-6)代入，得到F1满足方程2211220FFxy(1-7)另外，应力函数F在矩形截面的边界处满足如下边界条件(1-8)1(,)()()FxyXxYy2XYXY20XX20YY2211(,)24(,)02abFyybFx所以，修正函数F1的边界条件为(1-9)设(1-10)将(1-10)代入(1-7)中，有由此得方程(1-11)(1-12)(1-13)其中，为任意常数。12()chshXxBxBx12()cossinYyCyCy1(,)chcosFxyAxychcos02bAx解之得方程(1-12)和(1-13)的通解根据薄膜比拟法，应力函数为坐标x和y的偶函数。所以(1-14)由边界条件(1-9)的第二式得(1-15)由此(21)πnnb(0,1,2,3,...)n10(,)chcosnnnnFxyAxy220(21)π(21)πchcos24nnnanbAyybb1233(1)8(21)π(21)ch2nnbAnanb121330(1)chcos8(,)(21)π(21)ch2nnnnxybFxynanb代入式(1-15),并作如下级数由边界条件(1-9)的第一式,确定其中的系数An等式两边同时乘以(21)πcosmydyb，并在区间(-b/2,b/2)积分,得代入式(1-16),得(1-16)得到应力函数1222330(1)chcos8(,)(21)4π(21)ch2nnnnxybbFxyynanb3550(21)πth16422[]3π(21)RnnaabDFdxdyabbn3550(21)πth1642[]3π(21)nTTnaGDababGbn(1-17)由式(1-2),可求得由此得(1-18)(1-19)由薄膜比拟可以推断，最大剪应力发生在矩形截面长边的中点,其值为220max255051[1](21)ππ(21)th2(21)πth1642[]3π(21)nnTnanbnaababbn3TabGmax2Tab(2-20)将式(1-19)和式(1-20)分别写成(2-21)(2-22)其中和都是仅与比值有关的参数，这两个因子通过计算可以表示如下：/ab由表可见，对于很狭长矩形截面的扭杆，很大，则和都趋近于1/3,这时式(2-21)和(2-22)分别简化为式(1-3)和(1-5)。/ab图2薄壁杆的扭转实际工程上经常遇到开口薄壁杆件，例如角钢、槽钢、工字钢等，这些薄壁件其横截面大都是由等宽的狭长矩形组成。无论是直的还是曲的，根据薄膜比拟，只要狭长矩形具有相同的长度和宽度，则两个扭杆的扭矩及其横截面剪应力没有多大差别。一开口薄壁杆件的扭转图3a1a2a1a1a3a2a1a3213iai设及分别表示扭杆横截面的第i个狭矩形的长度和宽度，Ti表示该矩形截面上承受的扭矩，T表示整个横截面上的扭矩，i代表该矩形长边中点附近的剪应力，为单位长度扭转角。则由狭长矩形的结果，得33iiiTGa23iiiiTa33iiiGaT33iiiGTTa(2-1)(2-2)由式(2-1)得(2-3)这个横截面上的扭转为(2-4)33iiTGa33iiiiTa33iiiiiaTTa由式(2-3)和式(2-4)消去,得代回式(2-3)和式(2-4),我们得到值得注意的是：由上述公式给出的狭矩形长边中点的剪应力已相当精确，然而，由于应力集中的存在，两个狭矩形的连接处，可能存在远大于此的局部剪应力。(2-5)(2-6)1TTT(2-6)图4(2-6)4(2-6)(2-6)TTT二闭口薄壁杆件的扭转对于闭口薄壁杆件的扭转问题，可以通过薄膜比拟法求得近似解答。如图5所示，假想在薄杆横截面的外边界上张一张膜，保证薄膜外边界的垂度为零，内边界处的垂度为常量。由于杆壁厚度很小，所以沿壁的厚度方向薄膜的斜率可视为常量。于是，在杆壁的厚度处，剪应力的大小应等于薄膜的斜率，即设外边界所包围面积的平均值（即薄壁杆件截面中线所包围的面积）为A，于是有h2TAh(2-7)(2-8)其中，h为杆壁厚度薄膜的垂度。图5由此得代入式（2-7）得可见，剪应力与杆壁的厚度成反比，最大的剪应力发生在杆壁最薄处。2ThA2TA2TA2GA为了求出单位长度扭转角，先求出杆横截面中心线上的应力环量，以A表示中心线所包围的面积，于是有(2-9)42TsAG24TAG(2-10)得如果杆壁为等厚度的，则其中，s为杆截面中心线的长度。若闭口的薄壁杆有凹角在凹角处有可能发生高度的应力集中现象。比值和之间的关系，如图6所示。其中为圆角半径。max//图6111222121112333hhhh对于薄壁杆的横截面有两个孔的多连通域情况，如图7所示，由于杆壁厚都很小，于是有其中，h1和h2表示薄膜内边界s1和s2的高度。(2-11)图7再分别对两根中心闭合线ACBA和ABDA求应力环量，有13123222ACBBABDAABdsdsGAdsdsGA(2-13)求得扭矩11222()TAhAh1112222()TAA也可以表示为(2-12)若、为常数，则式（2-13）可变为求得113312233222ssGAssGA12121232123121222132231123123121312222213223112312121212322213223112312[()]2()[()]2()[]2()TsAsAAsAsAsAATsAsAAsAsAsAATsAsAsAsAsAA1212313223122213223112312()4()TssssssGsAsAsAA(2-14)(2-15)(2-16)12例2两个截面完全相同的变厚度薄壁杆如图8所示，其中（a）为闭口，（b）为开口，试分析两杆件在抗扭转刚度和最大剪应力方面的特点。解（1）开口薄壁杆由式(2-6),得单位长度扭转角：截面扭转刚度：3333iiTTGaGds3333iiGdsGaTGD3333iiiiiTTads剪应力：最大剪应力：maxmaxmaxmax3333()iiiTTads最大剪切力发生在宽度最大处。(a)(b)图8由式(2-10),得单位长度扭转角：截面扭转刚度：（2）闭口薄壁杆42TAG4/2TGDAG2TAmaxmin2TA剪切力：最大剪切力：最大剪切力发生在宽度最小处。（3）闭口截面与开口截面的扭杆的刚度比为此式表明，闭口截面扭杆的刚度远远大于开口截面扭杆的刚度。23=(12)/GDAdsGD闭口开口222121As