正弦函数、余弦函数的性质导学案

-1-正弦函数、余弦函数的性质学习目标:掌握正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期；掌握正弦函数，余弦函数的奇偶性、单调性；会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间学习重点：正弦、余弦函数的主要性质(包括定义域、值域、单调性、奇偶性)学习难点：利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域学习过程：一探究新知1.如何作出正弦函数、余弦函数的图象？描点法（几何法、五点法），图象变换法，作出图象需要哪五个关键点研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？定义域、值域、单调性、周期性、对称性等2.正弦函数y=sinx，x∈[0,2π]的五个关键点可以为（0，0），（π，0），（2π，0），（π／2，0），（3π／2，0）余弦函数y=cosx，x∈[0,2π]的五个关键点可以为（0,1）,（π/2,0）,（π,-1）,（3π/2,0）,（2π,1）给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：①定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或（-∞，+∞）②值域(1)值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,所以︱sinx︱≤1，︱cosx︱≤1,即-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1，也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是〔-1,1〕(2)最值正弦函数y=sinx，x∈R.①当且仅当x=2kπ+2，k∈Z时,取得最大值1.②当且仅当x=2kπ-2，k∈Z时,取得最小值-1，余弦函数y=cosx，x∈R.当且仅当x=2kπ，k∈Z时,取得最大值1；当且仅当x=2kπ+π，k∈Z时,取得最小值-13.周期性由sin（x+2kπ）=sinx，cos（x+2kπ）=cosx，k∈Z，知正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数f（x）,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f（x+T）=f（x）,那么函数f（x）就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知,2π，4π，…-2π，-4π，…2kπ（k∈Z，k≠0）都是这两个函数的周期对于一个周期函数f（x）,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期,最小正周期是2π4.奇偶性由sin（-x）=-sinx，cos（-x）=cosx，可知:y=sinx，（x∈R）为奇函数,其图象关于原点O对称，y=cosx，（x∈R）为偶函数,其图象关于y轴对称5.对称性正弦函数y=sinx（x∈R）的对称中心是（kπ，0）（k∈Z）,对称轴是直线x=kπ+2（k∈Z）余弦函数y=cosx（x∈R）的对称中心是（kπ+2，0）（k∈Z）,对称轴是直线x=kπ（k∈Z）(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴(中轴线)的交-2-点).6.单调性从y=sinx，x∈〔-2,23〕的图象上可看出:当x∈〔-2,2〕时,曲线逐渐上升,sinx的值由-1增大到1；当x∈〔2,23〕时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到-1结合上述周期性可知:正弦函数在每一个闭区间〔-2+2kπ,2+2kπ〕（k∈Z）上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间〔2+2kπ,23+2kπ〕（k∈Z）上都是减函数,其值从1减小到-1.余弦函数在每一个闭区间〔2kπ-π,2kπ〕（k∈Z）上都是增函数,其值从-1增加到1;余弦函数在每一个闭区间〔2kπ,2kπ+π〕（k∈Z）上都是减函数,其值从1减小到-17.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ),(其中A、ω、φ为常数,A≠0,ω≠0,x∈R)的周期为T=2.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin［ω(x+2)+φ］=Asin(ωx+φ).于是有f(x+2)=f(x),所以其周期为28.正、余弦函数的图像及性质9.填表例1、求函数y=sin(2x+3)的单调增区间．解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性．解：令z=2x+3，函数y=sinz的单调增区间为[22k，22k]．由22k≤2x+3≤22k-3-得512k≤x≤12k，故函数y=sinz的单调增区间为[512k，12k]（ｋ∈Ｚ）点评：“整体思想”解题变式训练1.求函数y=sin(-2x+3)的单调增区间解：令z=-2x+3，函数y=sinz的单调减区间为[22k，322k]，故函数sin(-2x+3)的单调增区间为[712k，12k]（ｋ∈Ｚ）．例2：判断函数33()sin()42fxx的奇偶性解析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再看()fx与()fx的关系，对(1)用诱导公式化简后，更便于判断．解：∵33()sin()42fxx=3cos4x，∴33()cos()cos44xxfx，所以函数33()sin()42fxx为偶函数．点评：判断函数的奇偶性时，判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤．变式训练2.2()lg(sin1sinfxxx)解：函数的定义域为R，2()lg[sin()1sin]fxxx=2lg(sin1sin)xx=21lg(sin1sin)xx=2lg(sin1sin)xx=()fx，所以函数2()lg(sin1sinfxxx）为奇函数．例3.比较sin2500、sin2600的大小解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小解：∵y=sinx在[22k，322k]（k∈Z），上是单调减函数，又25002600∴sin2500sin2600点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单调区间，运用单调性即可，若比较复杂，先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较．变式训练3.cos914cos815、解：cos1514cos89二课内自测一选择题①函数2sin2yx的奇偶数性为（）A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数②下列函数在[,]2上是增函数的是（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=sin2xD.y=cos2x③下列四个函数中，既是（0,0.5π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A.sinyxB.sin2yxC.cosyxD.cos2yx④函数2sin()63yxx的值域是（）A．1,1B．1,12C．13,22D．3,12⑤使sincosxx成立的x的一个区间是（）A．3,44B．,22C．3,44D．0,⑥函数x2sin2y的奇偶性为（）A.奇函数B.偶函数C．既奇又偶函数D.非奇非偶函数⑦函数f(x)＝7sin23x＋15π2是()A．周期为3π的偶函数B．周期为2π的奇函数C．周期为3π的奇函数D．周期为4π／3的偶函数-4-⑧为了得到函数1sin()44yx的图像，只需将函数1sin()34yx的图像上各点（）即可A.横坐标缩短为原来的4／3倍，纵坐标不变B.横坐标缩短为原来的3／4倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短为原来的4／3倍，横坐标不变D.纵坐标缩短为原来的3／4倍，横坐标不变⑨下列函数中，图像的一部分如右图所示的是Asin()6yxBsin(2)6yxCcos(4)3yxDcos(2)6yx⑩函数y=2sin(ωx+φ)，|φ|2的图象如图所示，则()Aω=1011,φ=6Bω=1011,φ=-6Cω=2,φ=6Dω=2,φ=-6二填空题①把下列各等式成立的序号写在后面的横线上.①cos=2；②2sinx=3；③sin2x-5sinx+6=0；④cos2x=0.5_______________________________②不等式sinx≥22的解集是______________________③把sin54，－cos45，sin532，cos125下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________④函数y12sin2x的最大值是____,最小值是____，周期是⑤函数2cos()3yx取得最大值时的自变量x的集合是_________________三解答题1.求下列函数的周期：（1）xy43sin，x∈R（2）xy4cos，x∈R（3）xycos21，x∈R（4）)431sin(xy，x∈R，（5）12sin(3)25yx，（6）12cos()26yx2.判断下列函数的奇偶性：（1）()sincosfxxx（2）2()lg(1sinsin)fxxx（3）1cos2sin()1sinxxfxx（4）1+cosfxx（5）2sin1fxx3.利用三角函数的单调性，比较下列各组中两个三角函数值的大小：①5463sin()sin()78与②1514coscos89与4.下列函数的单调区间：（1）sin()4yx（2）3cos2xy6.求出数1sin,2,232yxxx的单调递增区间-5-7.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线8x对称，求a的值三课堂达标一选择题①y=sin(x-π3)的单调增区间是（）A.[kπ-π6,kπ+5π6](k∈Z)B.[2kπ-π6,2kπ+5π6](k∈Z)C.[kπ-7π6,kπ-π6](k∈Z)D.[2kπ-7π6,2kπ-π6](k∈Z)②下列函数中是奇函数的是（）A.y=-|sinx|B.y=sin(-|x|)C.y=sin|x|D.y=xsin|x|③在(0,2π)内，使sinxcosx成立的x取值范围是（）A.(π4,π2)∪(π,5π4)B.(π4,π)C.(π4,5π4)D.(π4,π)∪(5π4,3π2)④函数y=sin（x+π／4）图象的一条对称轴是（）A.x轴B.y轴C.直线x=π／4D.直线x=-π／4⑤在下列区间上函数sin()4yx的单调递增区间是（）A,2B0,4C,0D,42⑥设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数⑦下列函数中，周期为π2的是()A．y＝sinx2B．y＝sin2xC．y＝cosx4D．y＝cos4x⑧下列函数中，不是周期函数的是()A．y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|⑨函数y＝sin(x＋θ)(0θ≤π)是R上的奇函数，则θ的值是()A．0B.π4C.π2D．π⑩函数y=cosx的图象向左平移3个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为()Ay=3cos(12x+3)By=3cos(2x+3)Cy=3cos(2x+23)Dy=13cos(12x+6)二填空题①cos1,cos2,cos3的大小关系是______________________②ｙ=sin(3x-π2)的周期是__________________③函数y＝sin(π4－2x)的单调递增区间是④若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是______________．⑤函数y＝sinωx＋π