函数的平均变化率讲解

服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测课堂互动探究教师备选资源服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2●三维目标1．知识与技能(1)理解并掌握平均变化率的概念；(2)会求函数在指定区间上的平均变化率；(3)能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．1．1导数1．1.1函数的平均变化率服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-22．过程与方法(1)通过观察直观的图形，培养学生的观察能力及抽象概括能力；(2)引导学生体会特殊到一般，具体到抽象的思想方法．3．情感、态度与价值观(1)体会领悟不同曲线的变化率的区别；(2)通过合作交流，树立自信心，形成合作意识．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2●重点难点重点：在实际背景下，借助函数图象直观地理解平均变化率，得到平均变化率的公式．难点：对生活现象中的变化情况作出相应的数学解释．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2课标解读1.通过实例了解函数平均变化率的意义.2.掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率的方法与步骤．(重点、难点)服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【问题导思】假设图1－1－1是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．函数的平均变化率服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？【提示】自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值的改变量为y1－y0，记作Δy.图1－1－1服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-22．Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？【提示】不能．3．怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？【提示】对山坡AB来说，ΔyΔx＝y1－y0x1－x0可近似地刻画．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-24．能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？【提示】因ΔyΔx表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2函数的平均变化率的定义一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g(x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率．【思路探究】先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求解．求函数的平均变化率服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【自主解答】(1)①∵Δx＝－1－(－3)＝2，Δy＝f(－1)－f(－3)＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝6，∴ΔyΔx＝62＝3，即f(x)在－3到－1之间的平均变化率为3.②∵Δx＝－1－(－3)＝2，Δy＝g(－1)－g(－3)＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，∴ΔyΔx＝－162＝－8，即g(x)在－3到－1之间的平均变化率为－8.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2(2)①∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)＝3·Δx，∴ΔyΔx＝3·ΔxΔx＝3，即f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为3.②∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)＝[2×(1＋Δx)2＋1]－(2×12＋1)＝4·Δx＋2·(Δx)2，∴ΔyΔx＝4·Δx＋2·（Δx）2Δx＝4＋2·Δx，即g(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为4＋2Δx.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2用定义法求平均变化率的基本步骤是：(1)作差求Δx；(2)求出Δy，对Δy进行变形，通常用到的变形有：通分、配方、分母(子)有理化等；(3)作商求出ΔyΔx.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.5]，[1，1＋Δx]的平均变化率．【解】函数f(x)在区间[1，3]的平均变化率为f（3）－f（1）3－1＝32＋3－（12＋1）2＝5；函数f(x)在区间[1，2]的平均变化率为f（2）－f（1）2－1＝22＋2－（12＋1）1＝4；服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2函数f(x)在区间[1，1.5]的平均变化率为f（1.5）－f（1）1.5－1＝1.52＋1.5－（12＋1）0.5＝3.5.函数f(x)在区间[1，1＋Δx]的平均变化率为f（1＋Δx）－f（1）（1＋Δx）－1＝（1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1）Δx＝3Δx＋（Δx）2Δx＝3＋Δx.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2平均变化率的大小比较求函数f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx的值为13，哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】先求出平均变化率ΔyΔx，再把x0，Δx代入比较大小即可．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【自主解答】在x＝1附近的平均变化率为k1＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝（1＋Δx）2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝f（2＋Δx）－f（2）Δx＝（2＋Δx）2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝f（3＋Δx）－f（3）Δx＝（3＋Δx）2－32Δx＝6＋Δx.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193.由于k1k2k3.∴在x＝3附近的平均变化率最大．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．曲线的“陡峭”程度与函数平均变化率的关系：(1)平均变化率为正值时，ΔyΔx越大，曲线越“陡”，反之越“平直”．(2)平均变化率为负值时，ΔyΔx越大，曲线越“平直”，反之越“陡”．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-22．比较平均变化率的方法步骤：(1)求出两不同点处的平均变化率．(2)作差(或作商)，并对差式(商式)作合理变形，以便探讨差的符号(商与1的大小)．(3)下结论．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2本例中的“函数f(x)＝x2”变为“f(x)＝x2＋a”和“f(x)＝－x2”，则结论如何？【解】当f(x)＝x2＋a时，f(x)在x＝1附近的平均变化率为k1＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝[（1＋Δx）2＋a]－（1＋a）Δx＝2＋Δx；服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2在x＝2附近的平均变化率为k2＝f（2＋Δx）－f（2）Δx＝[（2＋Δx）2＋a]－（22＋a）Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝f（3＋Δx）－f（3）Δx＝[（3＋Δx）2＋a]－（32＋a）Δx＝6＋Δx.若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2由于k1k2k3，∴函数f(x)＝x2＋a在x＝3附近的平均变化率最大．当f(x)＝－x2时，f(x)在x＝1附近的平均变化率为k1＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝[－（1＋Δx）2]－（－1）Δx＝－2－Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝f（2＋Δx）－f（2）Δx＝[－（2＋Δx）2]－（－4）Δx＝－4－Δx；服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2由于k1k2k3，∴函数f(x)＝－x2在x＝1附近的平均变化率最大.在x＝3附近的平均变化率为k3＝f（3＋Δx）－f（3）Δx＝[－（3＋Δx）2]－（－9）Δx＝－6－Δx.若Δx＝13，则k1＝－2－13＝－73，k2＝－4－13＝－133，k3＝－6－13＝－193.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2已知某质点按规律s＝(2t2＋2t)(单位：m)作直线运动，求：(1)该质点在前3s内的平均速度；(2)质点在2s到3s内的平均速度．平均变化率的应用【思路探究】因为Δs是质点在Δt这段时间内的位移，所以ΔsΔt就是质点在Δt这段时间内的平均速度．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【自主解答】(1)由题设知，Δt＝3s，Δs＝s(3)－s(0)＝24m，∴平均速度为v＝ΔsΔt＝8m/s.(2)由题设知：Δt＝3－2＝1s，Δs＝s(3)－s(2)＝12m.∴平均速度为v＝ΔsΔt＝12m/s.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．求质点运动的平均速度，实质与求函数的平均变化率相同．2．解答此类问题，首先要明确自变量与函数值的实际意义，弄清楚函数的单调性，然后利用定义求平均变化率，并结合题意回答有关问题．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.(1)求运动员在第一个0.5s内高度h的平均变化率；(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【解】(1)运动员在第一个0.5s内高度h的平均变化率为h（0.5）－h（0）0.5－0＝4.05(m/s)；(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为h（2）－h（1）2－1＝－8.2(m/s)．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2变量作差顺序不对应致误已知曲线y＝－2x3＋2和这条曲线上的两个点P(1，0)、Q(2，－14)，求该曲线在PQ段的平均变化率．【错解】∵Δx＝2－1＝1，Δy＝0－(－14)＝14，∴ΔyΔx＝141＝14.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【错因分析】在函数的平均变化率的求法公式中，Δy必须对应于Δx，即若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)；若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)．本题的错误之处在于变量作差顺序不对应．【防范措施】自变量x由x0变化到x1，相应的函数值由f(x0)变化到f(x1)，分别得到Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)．求平均变化率问题时，必须搞清是如何变化的，以免把分子分母的作差顺序搞错．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【正解】∵x1＝1，y1＝0，x2＝2，y2＝－14，∴Δx＝x2－x1＝1，Δy＝y2－y1＝－14.则ΔyΔx＝－141＝－14.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．求函数平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)计算平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1.2．平均变化率可以描述一个函数在某个范围内的变化快慢．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx＞0B．Δx＜0C．Δx≠0D．Δx＝0【解析】由平均变化率的定义知，Δx为改变量，∴Δx≠0.【答案】C服/务/教/师免