江苏省南京市2018届高三第一次月考数学试卷

南京市2018届高三数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合1,6,9A，1,2B，则AB▲．2．复数(1i2)abi（,ab是实数，i是虚数单位），则ab的值为▲．3．函数2log(3)yx的定义域为▲．4．为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学，初中，高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800，则从初中抽取的学生人数为▲．5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S的值是▲．6．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．则点数相同的概率是▲．7．如图，在正三棱柱111CBAABC中，D为棱1AA的中点．若14AA，2AB，则四棱锥1BACCD的体积为▲．8.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7=▲．9.设为锐角，若3cos65，则sin12▲.10.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta（1t）b．若b·c=0，则实数t的值为▲．11.已知22(0),()(0)xxxfxxxx≥，则不等式2(1)12fxx的解集是▲．12.在直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），则满足224PAPB且在圆224xy上的点P的个数为▲．第5题开始是输出S否n←1，S←0n≤3S←2S+1n←n+1结束13.已知正实数x，y满足24xyxy，则xy的最小值为▲．14.若2101mxmx（m0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是▲．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1cos2aCcb．（1）求角A的大小；（2）若15a，4b，求边c的大小．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．OABCDMN17.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的右准线方程为4x，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为255.（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当,,BFP三点共线时，试确定直线l的斜率.18.（本题满分16分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，2MON，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN.（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设AOB，求A在MN上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？19．（本小题满分16分）设t＞0，已知函数f(x)＝x2(x－t)的图象与x轴交于A、B两点．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）设函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0∈(0，1]时，k≥－12恒成立，求t的最大值；（3）有一条平行于x轴的直线l恰好．．与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．20．（本小题满分16分）已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：222*13,0,2.nnnnSnaSannN，（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是递增数列．南京市2018届高三数学试卷参考答案1.{1}2.23.（3,+）4.1005.76.167.238.149.21010.211.（-1，2）12.213.26-314.1-2（，-）17.解：（1）由题意知，直线l的方程为2()yxa，即220xya，右焦点F到直线l的距离为222555ca，1ac，……………………2分又椭圆C的右准线为4x，即24ac，所以24ac，将此代入上式解得2,1ac，23b，椭圆C的方程为22143xy；……………………6分（2）由（1）知(0,3)B，(1,0)F，……………………8分直线BF的方程为3(1)yx，……………………10分联立方程组223(1)143yxxy，解得85335xy或03xy（舍），即833(,)55P，…………12分直线l的斜率330()3358225k.……………………14分方法二:由（1）知(0,3)B，(1,0)F，直线BF的方程为3(1)yx，由题(2,0)A，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)ykx，联立方程组3(1)(2)yxykx，解得23333kxkkyk，代入椭圆解得：332k或32k，又由题意知，303kyk得0k或3k，所以332k.方法三：由题(2,0)A，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)ykx，联立方程组22(2)143ykxxy，得2222431616120kxkxk，221643APkxxk，所以2222168624343Pkkxkk,21243Pkyk，当,,BFP三点共线时有，BPBFkk，即22212334386143kkkk，解得332k或32k，又由题意知，303kyk得0k或3k，所以332k.18.解：（1）如图，作OHAB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，6AOB，…………2分2sin,cos1212ABROHR，1sin212OEDEABRcossin1212EHOHOER…………4分222sincossin2sincos2sin121212121212SABEHRRR2231sincos1662RR…………6分（2）设02AOB…………7分则2sin,cos22ABROHR，1sin22OEABRcossin22EHOHOER…………9分222sincossin2sincos2sin222222SABEHRRR22sincos12sin14RR…………12分0,2，3,44442即4时，2max21SR，此时A在弧MN的四等分点处…………15分答：当A在弧MN的四等分点处时，2max21SR…………16分19．（本小题满分16分）解：（1）f′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞2t3或x＜0时，f′(x)＞0，所以(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f(x)的单调增区间；当0＜x＜2t3时，f′(x)＜0，所以(0，2t3)为函数f(x)的单调减区间．………………4分（2）因为k＝3x02－2tx0≥－12恒成立，所以2t≤3x0＋12x0恒成立，…………………6分因为x0∈（0，1]，所以3x0＋12x0≥23x0×12x0＝6，即3x0＋12x0≥6，当且仅当x0＝66时取等号．所以2t≤6，即t的最大值为62．…………………8分（3）由（1）可得，函数f(x)在x＝0处取得极大值0，在x＝2t3处取得极小值－4t327．因为平行于x轴的直线l恰好．．与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点，所以直线l的方程为y＝－4t327．…………………10分令f(x)＝－4t327，所以x2(x－t)＝－4t327，解得x＝2t3或x＝－t3．所以C（2t3，－4t327），D（－t3，－4t327）．…………………12分因为A（0，0），B（t，0）．易知四边形ABCD为平行四边形．AD＝(－t3)2＋(－4t327)2，且AD＝AB＝t，所以(－t3)2＋(－4t327)2＝t，解得：t＝32．…………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）在S2n＝3n2an＋S2n－1中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．…………………2分因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．……4分经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝3n(n＋1)2，Sn－1＝3n(n－1)2满足S2n＝3n2an＋S2n－1．（2）由S2n＝3n2an＋S2n－1，得S2n－S2n－1＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①……………6分所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③………………8分所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，………10分因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．所以an＝a，n＝1，3n＋2a－6，n为奇数且n≥3，3n－2a＋6，n为偶数，…………………12分要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，即a＜12－2a，3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，解得94＜a＜154．所以M＝(94，154)，当a∈M时，数列{an}是递增数列．………………16分5u.com)