南京市2019年高三12月月考数学试卷

-1-高三月考数学试卷（文）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．集合A＝{0，xe}，B＝{﹣1，0，1}，若AB＝B，则x＝．2．若复数(1i)(1i)za（i为虚数单位，a＞0）满足2z，则a＝．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s，从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．4．函数()sin3cosfxxx，x[0，]的单调减区间为．5．执行如图所示的流程图，则输出S的值为．6．设正△ABC的边长为1，t为任意的实数，则ABACt的最小值为．7．已知0x，0y，且121xy，则xy的最小值为．8．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为43，则该三棱柱的体积是．9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：22810xyxm与直线210xy相交于A，B两点．若△ABC为等边三角形，则实数m的值为．10．等差数列na的前n项和为nS，已知11a，且数列nS也为等差数列，则10a＝．11．如图，已知抛物线22(0)ypxp与双曲线22221xyab(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，双曲线的焦距为2c，点A是两曲线的一个交点，若直线AF的斜率为3，则双曲线的离心率为．-2-第5题第11题12．在平面凸四边形ABCD中，AB＝22，CD＝3，点E满足DE2EC，且AE＝BE＝2．若8AEEC5，则ADBC的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：221xy，圆C：22(4)4xy，动点P在直线320xy上的两点E，F之间，过点P分別作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为．14．已知函数2()2ln,0xxafxexxa,．若对任意实数k，总存在实数0x，使得00()fxkx成立，则实数a的取值集合为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在△ABC中，A为锐角，且sinA＝35．（1）若AC＝5，BC＝3，求AB的长；（2）若tan(A﹣B)＝12，求tanC的值．16．（本小题满分14分）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面ABCD，点M、F分别是线段AA1、BC的中点．（1）求证：AF⊥DD1；-3-（2）求证：AF∥平面MBC1．17．（本小题满分14分）为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分）．以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数1(0)yxxx模型．园区服务中心P在x轴正半轴上，PO＝43百米．（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道直线段PQ最短．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，并且椭圆经过点P(1，32)，直线l的方程为x＝4．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆内一点E(1，0)，过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，交直线l于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．-4-19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln()2fxxxaxaR．（1）当a＝3时，求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx有两个极值点，1x，2x，且12xx，1x(0，1]，求证：12()()fxfx32ln22；（3）设()()lngxfxax，对于任意a(0，2)时，总存在x[1，2]，使()(gxka2)2成立，求实数k的取值范围．20．（本小题满分16分）已知na为等差数列，nb为等比数列，公比为q（q≠1）．令A＝kkkabkN，．（1）设A＝{1，2}，①当nan，求数列nb的通项公式；②设10a，q＞0，试比较na-5-与nb（n≥3）的大小？并证明你的结论．（2）问集合A中最多有多少个元素？并证明你的结论．参考答案1．02．13．5124．[6，]5．64806．327．3228．639．﹣1110．1911．72312．213．239314．{e}15．（1）AB的长为4；（2）tanC的值为112．16．（1）先由AB＝AC证AF⊥BC，再由平面BB1C1C⊥底面ABCD证AF⊥平面BB1C1C，从而AF⊥C1C，进而AF⊥DD1；（2）取BC1中点N，连接MN、FN，先证FN＝∥12C1C，从而FN＝∥12A1A，进而FN＝∥AM，的平面MNFA是平行四边形，从而AF∥MN，最后即可证明AF∥平面MBC1．17．解：（1）设1,2Mxx，则222221122222OMxxxxx，当且仅当2212xx，即222x时取等号，∴OM的最短距离为222.-6-（2）过P作函数1yxx的切线l，设切线l的方程为403ykxk，联立方程组431ykxyxx，得241103kkxx，令2164109kk得3k或34k（舍），∴直线l的方程为433yx，令5y得13x，∴117633DQ.∴当173DQ时，通道PQ最短。18．（1）椭圆的方程为2214xy；（2）存在，的值为2．19．解：222'0xaxfxxaxxx（1）当3a时，22132'xxxxfxxx，令'001fxx或2x，令'012fxx，所以fx的递增区间为（0,1）和2,，递减区间为（1,2）（2）由于fx有两个极值点12,xx，则220xax在0,x上有两个不等的实根12,xx，-7-21211212218022012202aaxxaxaxxxxaxx2212111222112ln2ln22fxfxxxaxxxax22221212121211111121212lnln2lnln2222xxxxxxxxxxxx21112124ln2ln2012xxxx设2224ln2ln2012xFxxxx，所以222423324444'0xxxFxxxxxx所以Fx在0,1上递减，所以312ln22FxF即1232ln22fxfx，（3）有题意知，只需max22gxka成立即可，因为21lnln2gxxxaxa，所以1'gxxax，因为1,2x，所以152,2xx，而0,2a，所以'0gx，所以gx在1,2x递减，当2x时，max2ln222lngxgaa，所以ln222ln22aaka在0,2a上恒成立，令ln22ln24haaaka，则0ha在0,2a上恒成立.211'2kahakaa，又20h当20k时，'0,haha在0,2a递减，当0a时，ha，所以20hah，所以2k，当220即2k时，1'02haak，①1022k即52k时，ha在1,22k上递增，-8-存在12ak，使得20hah，不合，②122k即522k时，'0ha，ha在0,2a递减，当0a时，ha，所以20hah，所以522k，综上，实数k的取值范围为5,2.20．（1）①12nnb；②当21aa时，na＜nb（n≥3）；当21aa时，na＝nb（n≥3）；当21aa时，na＞nb（n≥3）．（2）略．