第七弹性力学平面问题的极坐标系解答资料

1第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标(r,)来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。第1节平面极坐标下的基本公式采用极坐标系则平面内任一点的物理量为r,函数。体力：fr=Kr,f=K面力：FKFKrr,应力：r,,r=r应变：r,,r=r位移：ur,u直角坐标与极坐标之间关系:x=rcos,y=rsinrrxxrrxsincosrryyrrycossin1.1平衡微分方程0)(11rrrrfrrr021frrrrrxyoPr21.2几何方程rurr，urrur1，ruruurrr11.3变形协调方程01)(1)(112222222rrrrrrrrrrrr1.4物理方程平面应力问题：)(1rrE，)(1rE，rrE)1(2平面应变问题将上式中21EE，1即得。1.5边界条件1.位移边界条件：rruu，uu在su上2.力的边界条件：rrrrFKsnrn),cos(),cos(FKsnrnrr),cos(),cos(在s上环向边界KKrnrrr,://（r=r0）径向边界KKrnsnrθr,:)(//（=0）1.6按位移法求解基本未知函数为位移ur,u，应变、应力均由位移导出。3平面应力问题时的应力由位移表示)1(1)(122ruurruEErrrr)1(1)(122ruruurEErrr)1()1(2)1(2ruruurEErrr上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。0)(1rrrrKrrr,021Krrrrr力的边界条件也同样可以用位移表示。1.7按应力法求解在直角坐标系中按应力求解的基本方程为（平面应力问题）))(1()(002yfxffyxfyxyxyxyyxyxxyx其中22222yx＝4在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题）)1)(1()(021012rffrrffrrrfrrrrrrrrrrrr其中22222211rrrr＝力的边界条件如前所列。1.8应力函数解法当体力为零fr=f=0时,应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数(r,)表示,而应力函数(r,)所满足方程为4(r,)=0或0)11(22222rrrr而极坐标系下的应力分量r,,r由(r,)的微分求得,即：rrrr11222，22r，rrrrrrr2211)1(第2节轴对称问题2.1轴对称问题的特点1.截面的几何形状为圆环、圆盘。2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力分量f=0；在边5界上r=r0：0F,0u（沿环向的受力和约束为零）。3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的：在V内u=0，r=0，r=0,ur=ur(r)，r=r(r),=(r),r=r(r),=(r).各待求函数为r的函数（单变量的）。2.2轴对称平面问题的基本公式1.平面微分方程（仅一个）：0rrrfrrd2.几何方程（二个）：drdurr，rur3.变形协调方程（一个）：01)(1)(112222222rrrrrrrrrrrr01)(122drdrrdrdrrrrdrd)(——变形协调方程由几何方程：rurrrdrdurdrd)(或rdrdr4.物理方程(两个)6平面应力问题)(1rrE，)(1rE或)(12rrE，)(12rE平面应变问题时弹性系数替换。5.按位移法求解将r、用ur表示，并代入平衡微分方程，对于平面应力问题)(12rudrduErrr)(12drduruErr位移法的基本方程为：0)1(12222rrrrfErudrdurdrud0)1()(12rrfErudrdrdrd相应边界条件：轴对称问题边界r=r0（常数）位移边界条件：rruu在su上力的边界条件：rrF在s上平面应力问题的力边界条件用位移表示：rrrFrudrduE)(12在s上当ur由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均7可求出。6.按应力法解应力法基本方程平面应力问题))(1()(02rfdrdffrdrdrrrrrr其中drdrdrd1222＝边界条件为力的边界条件：rrF在s上7.按应力函数求解当无体力时应力法基本方程为：0)(02rrrrdrd选取应力函数=(r)——单变量的函数应力分量与(r)的关系：drdrr1，22drd，0r，自然满足平衡微分方程，则应力函数(r)应满足的基本方程为相容方程，即0)1()(222222drddrdrr或04——四阶变系数的微分方程（尤拉方程）8而)(1)(1122222drdrdrdrdrddrdrrdrdrdrd则0)(11)(1)1(224drdrdrdrdrdrdrdrdrdrdrdrdrdrdrd逐次积分（四次）可将轴对称问题的(r)基本形式得到：(r)=Alnr+Br2lnr+Cr2+D其中A、B、C、D为任意常数，D可去掉。将(r)代入应力分量与应力函数的关系式，可得平面应力、平面应变问题应力表达式：02)ln23(2)ln21(12222rrrCrBrAdrdCrBrAdrdr对于圆环或圆筒，力边界条件仅两个，不能确定三个系数。但圆环或圆筒为复连域，除了力的边界条件满足外还要考虑位移单值条件。下面将ur表达式导出（平面应力问题为例）将物理方程代入几何方程：)(1rrrEdrduxy9)(1rrEru将应力分量表达代入几何方程的第二式，得)1(2ln)1(23)1(1)(CrrBrrAEErurr——（a）应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得FdrEurr)(1FCrrBrrAEur)1(2ln)1(21)1(1——(b)考虑位移单值性比较（a）和（b）式：4Br-F=0B=F=0轴对称问题的应力和位移解为：CrAr22，CrA22，0r)1(2)1(1CrrAEur，0uA、C由两个力的边界条件确定。对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，则根据圆盘（或圆柱）中心应力和位移有限值,得A=0q10图示圆盘受力情况，得应力为r==2C=-q2.3轴对称问题举例例题1等厚圆盘在匀速转动中计算（按位移法解）已知：等厚圆盘绕盘心匀速转动（单位厚）角速度为（常数）、圆盘密度为，圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用：fr=Kr=2r，f=K=0在r=a边界上0KKr（或0FFr）符合轴对称问题（平面应力问题）。位移法的基本方程：0)1()(122rErudrdrdrdr积分两次：322218)1(rErCrCur确定C1和C2：当r=０时，ur为有限值，须C2=0然后，利用r=a时，0)(arrrrFK，得222221)3(81)121(8)1(aaC，代回位移表达式并求应力)1()1()3(83332ararEaur)1(8)3(2222arar，222233118)3(araxyaPr11如果圆环匀速（）转动，则ur表达公式中的C20，C1和C2由力的边界条件定：(r）r=a=0,(r）r=b=0例题２圆环（或圆筒）受内外压力作用。已知：体力fr=f=0（或Kr=K=0），力的边界条件：在r=a边界（内径）：r=-qa，r=0在r=b边界（外径）：r=-qb，r=0本问题仍为轴对称问题，且体力为零，可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。１．按应力函数法求解按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：CrAr22，CrA22，0r平面应力问题的位移：)1(2)1(1CrrAEur，0u利用力的边界条件：qaCaA22及qbCbA22，得xybraabqaqb122222)(abqaqbbaA，22222abbqaqCba２．按位移法求解：由基本方程0)(1rrudrdrdrd得rCrCur21代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有22122)1()1(1)(1rCCErudrduErrr同样利用力的边界条件导出同样结果。讨论：(1）当qa0，qb=0仅受内压，以及qb=0、b时；(2)当qa=0，qb0仅受外压；(3)组合圆筒。内筒：内径a，外径b，弹性系数E、，外筒：内径b，外径c，弹性系数E’、’。内筒应力和位移：CrAr22，CrA22，0r平面应变问题)21(21CrrAEur，0u外筒应力和位移：'2''2CrAr，'2''2CrA，0'ryxbca13)21(21'''''CrrAEur，0'u组合圆筒应力和位移表达式中共有四个待定系数A、C、A’、C’，利用四个条件定。如果内筒受内压qa外筒外径无面力，则确定系数的四个条件为：(r)r=a=-qa,(r’)r=c=0,(r)r=b=(r’)r=b，(ur)r=b=(ur’）r=b又如：内筒无内压qa=0，外筒无外压qc=0，但内筒外径大一点，内筒外径为b+，外筒内径仍为b，过盈配合问题，边界条件如何写：(r）r=a=0,(r’）r=c=0,(r）r=b=(r’）r=b，(ur’）r=b=(ur）r=b+（或(ur’）r=b+(ur）r=b=）第3节轴对称应力问题——曲梁的纯弯曲曲梁为单连域，当无体力作用，且受纯弯曲作用时，从受力分析知曲梁=c的截面上内力为M，各截面上的应力分布也相同与无关的，因此属