第八章-平面问题的极坐标解答

第八章平面问题的极坐标解答在求解弹性力学问题时，采用什么坐标系并不会影响问题的本质，但将直接关系到解决问题的繁简程度。 对不同形状的弹性体，最好选用便于求解的不同曲线坐标系。 由于讨论一般曲线坐标系比较复杂，故本章将只讨论采用极坐标系求解弹性力学平面问题。 在极坐标系中，求解圆盘、圆环、扇形物体等的平面问题是比较方便的。 §8.1基本方程 在极坐标系中，任意一点的位置用径向坐标r和环向坐标表示，如图8.1所示。直角坐标和极坐标之间的关系为 cos,sinxryr      (a) 或 22,arctgyrxyx   (b) 1exyreerrdeedee2eOrd由式(b)可求得 cos,sinsincos,rrxyxryr                    (c) 于是   1cossin1sincosrxxrxrrryyryrr        (d) 利用式(d)可求出高阶导数的表达式，如   2211()(sincos)(sincos)yyrrrry   2222211sinsin2cosrrrrr 2222211sin2cosrr(e) 在极坐标系中，对平面上的任意一点，都可作一个径向单位矢量re和一个环向单位矢量e，这两个矢量是相互正交的，它们的正方向如图8.1所示。显然这种单位矢量的方向和点的位置有关，而直角坐标系的基矢量对每一点都是相同的。  从图8.1可以看出 1212cossinsincosreeeeee(f)对上面两式求偏导数，得,,,rrrrr00eeeeee(g)图1exyreerrdeedee2eOrd利用式(d)和式(f)，可得二维梯度算子(Hamilton算子)在极坐标系中的表达式121211(cossin)(sincos)xyrrrreeee12121(cossin)(sincos)rreeee1rrree极坐标下的二维梯度算子(Hamilton算子)1rrree(8.1)极坐标下的Laplace算子从上式和式(g)可得Laplace算子的表达式22222211rrrr(8.2)在极坐标系中，二维的位移矢量可表示成rruueeu(8.3)其中ru和u分别是所讨论点的径向位移和环向位移。[平面极坐标下的基本方程]几何方程:1,11()2rrrrruuurrruuurrr(8.5)平衡方程:10210rrrrrrfrrrfrrr(8.8)物理方程:111(),(),rrrrrEEE(8.9)+两种边界条件。[上述基本方程的具体证明过程]极坐标下的几何方程位移的左梯度为1()()rrruurreeeeu1()rrrrrruuuurrrreeeeee1()ruurree(h)以re和e为基矢量，应变张量可表示成1()2rrrrrrreeeeeeeeεuu(8.4)注意到T()uu，从式(h)和式(8.4)得到几何方程1,11()2rrrrruuurrruuurrr(8.5)上面的几何关系也可根据应变分量的几何意义直接推导出来（见教材）。极坐标下的平衡方程在极坐标系中，体积力矢量可表示成rrffeef(8.6)应力张量为rrrrrrree+ee+ee+eeσ(8.7)注意，由于re和e相互垂直，根据剪应力互等定理，有rr。利用式(8.1)、(8.6)和(8.7)，平衡方程(4.17a)可写成1()rrrrrfrrreσf21()rrfrrre0故得:极坐标下的平衡方程10210rrrrrrfrrrfrrr(8.8)上面的平衡方程也可由考虑图8.3所示微元体的平衡条件得到。drrddrrrdrrrrrrrdroxy极坐标下的物理方程因为极坐标系和直角坐标系一样是正交坐标系，故两种坐标系中的胡克定律有相同的形式。对平面应力问题有111(),(),rrrrrEEE(8.9)对平面应变问题，应将上式中的E和分别换成1E和1。极坐标下的应力协调方程利用式(8.1)和(8.6)，在极坐标系中，体积力的散度可表示成1()()yxrrrfffxyrrfeeeef1rrfffrrr(h)因为xy是不变量，所以xyr(i)把式(h)和(i)代入式(7.17)，得平面应力问题极坐标形式的应力协调方程21()(1)()0rrrfffrrr(8.10)其中2由式(8.2)表示。只要把式(8.10)中的换成1，就可得到平面应变问题的应力协调方程。平面问题的应力函数解法（极坐标系）：寻找一个满足双调和方程220（或8.13式）的应力函数，其应力解答为： 222222211111()rrrrrrrrrrr(8.12)该应力解答还必须满足给定的应力边界条件。 注:应采用极坐标形式的Laplace算子22222211rrrr[应力函数解法证明]下面假定体积力有势，势函数为，则1,rffrr(8.11)把极坐标系作为老坐标系，直角坐标系为新坐标系。则111121cos,sinreeee采用符号11r，1221r，22，则由张量变换法则得1111111111121112211211221212x22cossin2sinrr(j)另一方面由式(7.20)和(e)得22222211()cosxrryr2222211()sin2()sinrrrr(k)要使式(j)和(k)相同，不同三角函数前的系数必须相等，由此可得极坐标系中用应力函数表示应力分量的公式222222211111()rrrrrrrrrrr(8.12)平面应力； 平面应变。 用应力函数表示的协调方程(7.21)是标量方程，因此不管在什么坐标系中其形式是不变的，即22221(1),(1)，(8.13)当然上面的2应采用极坐标形式的Laplace算子。把式(8.11)和(8.12)代入式(8.10)，也可得到式(8.13)。 §8.2平面轴对称应力问题假定应力函数和无关，且无体积力，此时方程(8.13)成为常微分方程222211()()0ddddrdrrdrdrdr(a)因为2211()ddddrrdrrdrdrdr所以，式(a)又可写成10()ddddrrdrdrrdrdr2b2a1q2q很容易求得上式的解为22lnlnArBrrCrD(b)将上式代入式(8.12)，得应力分量22(12ln)2(32ln)20rrABrCrABrCr(8.14)因为正应力和无关，剪应力为零，故应力状态绕z轴对称。这种应力称为轴对称应力。[下面考察和轴对称应力对应的位移]对平面应力问题，把式(8.14)代入胡克定律(8.9)，并利用几何关系(8.5)，得221(1)(13)2(1)ln2(1)11(1)(3)2(1)ln2(1)10[][]rrruABBrCrEruuABBrCrrEruuurrr(c)积分(c)中的第一式得1[(1)(13)2(1)(ln1)rAuBrBrrEr2(1))]()Crf(d)其中()f是的待定函数。将式(d)代入(c)中的第二式，整理后得4()uBrfE积分上式，得4()()BrufdgrE(e)这里的()gr是r的待定函数。把式(d)和(e)代入(c)中的第三式，并整理得()()()()dfdgrfdgrrddr上式的左边是的函数，而右边是r的函数，显然上式成立必然要求左右两边都等于同一个常数F。于是()()dgrgrrFdr(f)()()dffdFd(g)方程(f)的通解为()grHrF(h)其中H是常数。对方程(g)求一次导数，得22()()0dffd它的通解为()sincosfIK(i)其中I和K是常数。由(g)和(i)得()()cossindffdFFIKd(j)把式(i)代入式(d)，把式(j)和(h)代入式(e)，得位移分量的表达式1[(1)(13)2(1)(ln1)2(1)]sincos4cossinrAuBrBrrCrErIKBruHrIKE(8.15)其中的待定常数A、B、C、H、I和K由边界条件确定。若把上式中的E和分别换成1E和1，就可得到平面应变问题的位移表达式。式(8.15)表明，应力轴对称的问题其位移不一定也是轴对称的。综上所述，对整环或圆域的轴对称问题，若不考虑刚体位移，则应力表达式(8.14)和位移表达式(8.15)简化为222,2,0rrAACCrr(8.16)1[(1)2(1)],0rAuCruEr(8.17)把(8.16)的前两式相加得4rC，符合§7.2所述的线性条件，所以两端自由的轴对称应力问题无论轴向有多长都属于平面应力问题。§8.3内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板图8.5所示的是内半径为a、外半径为b的圆筒或圆环板，内外壁分别受均布压力1q和2q的作用。这一问题的应力是轴对称的，若不计刚体位移，则位移也是轴对称的。所以上节给出的应力表达式(8.16)和位移表达式(8.17)适合本问题。应力边界条件为12(),()rrarrbqq2b2a1q2q把式(8.16)代入上面的条件，可求得222221122222(),2()abqqqaqbACbaba(a)把A和C的值代回式(8.16)，得222221122222222222112222220rrqqaqbqabbarbaqqaqbqabbarba(8.18)当20q，即圆筒或圆环