泛函的极值

第2章泛函的极值在讨论泛函的极值以前,我们先来回顾一下函数的极值问题。2.1函数的极值性质2.1.1函数的连续性任意一个多元函数12(),(,,...,)TnnfxxxRxx,0,如果0)(,当0xx(或者说0(,)Oxx)时,有0()()ffxx那么,我们称()fx在0x处是连续的,记为00()lim()ffxxxx。2.1.2函数的可微性更进一步,如果存在1(,,)TnnAARA,使得001000(,,,,)()lim,1iniiifxxxfAinxxxxx那么我们称()fx在0x处是可微的,或者说存在(一阶)导数,记为'()fxA或者记为12'(),,...,Tnfffffxxxx其中为梯度算子(或者Hamilton算子,见附1)。同理,可以定义该函数的两阶导数()fx2222112122222122222222()nnnnnfffxxxxxfffffxxxxxfffxxxxxDx及更高阶导数。这里fD也称为Jacobi矩阵。如果函数()fx在某点0x足够光滑,那么我们就可以在该点附近把函数作以下的展开221002!020(d)()dd(d)dd()dd()dTTffffoffffxxxxxxxDxx其中()o为高阶小量,2d,dff分别为函数()fx的一阶微分和两阶微分。换个角度来看,如果2100002!(d)()(,d)(,d)(d)ffLQoxxxxxxxx其中0(,d)Lxx为dx的线性函数,而0(,d)Qxx为dx的两次函数,那么0(,d)Lxx为()fx的一阶微分,0(,d)Qxx为()fx的两阶微分。2.1.3函数的极值对于足够小的0,如果0(,)Oxx，总有0()()ffxx,那么我们称()fx在0x有极大值。如果0(,)Oxx，总有0()()ffxx,那么我们称()fx在0x有极小值。这里00(,){}Oxxxx为0x的邻域。如果()fx在某一点0x附近足够光滑,那么()fx在0x有极值的必要条件为0dd()0Tffxx或者说0()0fx更进一步,如果0()0fDx,那么()fx在0x有极大(小)值的充分条件为02102!dd()0dd()d0(0),d0TTffffxxxDxxx或者说是00()0()0(0)ffxDx其中0()0fDx表示是负定矩阵。2.2泛函的极值2.2.1函数的邻域定义在区间(,)ab上的函数)(0xyy的一阶邻域定义为:对于0,始终满足00()(),(,)'()'(),(,)yxyxxabyxyxxab我们称同时满足上述两式的函数()yx的集合是0()yx的一阶邻域。同样可以定义函数的高阶邻域。2.2.2泛函的极值变分引理（变分法基本引理）:如果函数],[)(0baCxf,对于在],[ba上满足0)()(ba的、足够光滑的任意函数)(x,如果总是成立()()d0bafxxx那么在(,)xab必有0)(xf证明:用反证法。假设有),(0bax使得0)(0xf,不失一般性设0)(0xf。由],[)(0baCxf,一定存在0,使00()0,[,](,)fxxxxab这样我们总可以构造下面一个连续函数)(x33()(),(,)()0,(,)xxxxx其中00,xx可以证明2()(,)xCab这样00()()d()()d0xbaxfxxxfxxx显然与引理条件矛盾,所以对于任意的],[bax都有0)(xf以上结果容易推广到二维或更高维的情形。如果泛函][yJ在)(0xyy的一阶邻域内都不大(小)于][0yJ,那么我们称泛函][yJ在)(0xyy有极大(小)值。也就是说0[][]JyJy()极小,0[][]JyJy()极大（2.2.1）使][yJ取到极值的函数称为极值函数。下面从最简单的泛函来讨论使泛函取到极值的必要条件。01[](,,')d,(),()baJyFxyyxyayyby如果*()yyx使[](,,')dbaJyFxyyx取到极值,则对于*()yyx的一阶邻域内的函数()yx应有[][*]JyJy()极小或者[][*]JyJy()极大现在用变分引理导出泛函取极值的必要条件。取*()()()yxyxx由于10)(,)(ybyyay,因此0)()(ba当足够小的时候,()yx属于*()yyx的邻域。当*()yyx以及)(x给定以后,[]Jy应该是关于的函数**[](,,'')d()baJyFxyyxJ因为][yJ在*()yyx处取极值,0应该是()J的极值点。根据函数极值的必要条件0d()|0dJ这就意味着d[()]()d0d'baFFxxyxy如果令y那么有d[()]d0d'baFFJyxyxy考虑到y的任意性，根据变分引理有d()0d'FFyxy（2.2.2）这就是该泛函极值问题的Euler方程。如果只限定0()yay、而放松xb处的要求，则定义域1{[,],()0}yCabyaYd[()]d0d''bxbaFFFJyxyyxyy（2.2.3）若()yyx是泛函[]Jy在Y上的极值，限定01{[,],(),()()}oyCabyayybybyYY则()yyx必是泛函[]Jy在oY上的极值，根据（2.2.2）有d()0,(,)d'FFxabyxy(2.2.4)代入（2.2.3）并考虑()yb的任意性可得0'xbFy(2.2.5)要使[]Jy在()yyx处取极值,那么意味着必须同时满足（2.2.4）和（2.2.5）对于更一般的泛函我们同样可以得到下面的泛函极值定理。定理2.1如果泛函][yJ在)(0xyy上达到极值，那么泛函在)(0xyy上的一阶变分J满足0J证明：根据泛函极值的定义，如果泛函][yJ在)(0xyy上达到极大值,那么必定存在)(0xy的一个领域,对于该领域内的任何一个函数)(xy,使得泛函的增量][][0yJyJJ不变号,由前面的推导(1.4.6)212!...JJJ其中0d[]|dJyJ22202d[]|dJyJ显然,当充分小时,J的符号由J部分确定。如果0J,我们总是可以调整的符号使得J改变符号,这与假设矛盾。因此0J是泛函有极值的必要条件。尽管0J不是泛函有极值的充分条件，但往往仍有意义。对于仅仅满足0J的泛函J，我们称在该点取驻值。2.2.3泛函的Euler方程由泛函0J所得到的微分方程（包括边界条件）称为泛函的Euler方程。例2.1[](,,')dbaJyFxyyx的Euler方程为d()0d'FFyxy例2.222011d[]()()d,(),()2dbayJypxqxyxyayybyxdd()()ddddd()()d0ddbabayyJpxqxyyxxxypxqxyyxxx得到dd()()0ddypxqxyxx上式称为Sturm-Liouville方程。结合边界条件10)(,)(ybyyay,构成第一边值问题的Sturm-Liouville问题。例2.322[]ddxyGJyuuxy上述泛函可以写成[]()ddGJyuuxy其一阶变分为2()dd2()()ddGGJuuxyuuuuxy根据格林公式有2d2dd0GGuJusuuxyn当边界上值给定时,0Gu，可以得到相应的Euler方程0u这是一个Laplace方程。如果只在部分边界1G上给定函数值，这里12GGG，则除上述的Laplace方程外还应满足20Gun例2.42221[]2dd2xxxyyyGJyuuuxy其中u及其法向导数在G的边界G上给定。泛函的一阶变分为2ddxxxxxyxyyyyyGJuuuuuuxy由于222222(2)()()2(2)()(2)()()()2xxxyyyxyxyyyxxxxxxxxyyxyyyyxyxyyyxyyxxxxxxyyyxxxxxxyyyyyyuuuuuuxxyyuuuuuuuuuuuuxyyuuuuuuuuuuxyyxxuuuuuuuuyux222xxxxxxxyyxyxyyyyyyxxxxxxyyyyyyuuuuuuuuuuuyuuuuuu根据格林公式,由于u及其法向导数在G的边界G上给定,即0GnGuu，所以有0GxGyGuuu从而2ddxxxxxxyyyyyyGJuuuuxy当泛函取极值时,根据变分引理1得到20xxxxxxyyyyyyuuu也就是20uu这是一个双调和方程。例2.5222[(,,)]2(,,)dddxyzGJyxyzuuuufxyzxyz其中(,,)uxyz在一部分边界1G（12GGG）上给定：1(,,)(,,)Guxyzuxyz。泛函可以写成[]2(,,)dddGJyuuufxyzxyz其一阶变分为2[]22(,,)ddd2()(,,)ddd2d2(,,)ddd2d2(,,)dddGGGGGGJyuuufxyzxyzuuuuufxyzxyzuuSuuufxyzxyznuuSuuufxyzxyzn当泛函取极值时,根据变分引理2得到对应的Euler方程为2(,,),(,,)0,(,,)ufxyzxyzGuxyzGn这是一个Poisson方程。2.3泛函的条件极值问题2.3.1函数的条件极值问题与Lagrange乘子假设求极值的函数为),...,,(21nxxxff相应的约束条件为12(,,...,)0,1ingxxxis（2.3.1）首先,自变量的微分必须满足约束条件,也就是说1d0,(1,2,...,)nijjjgxisx这意味着d0,(1,2,...,)igisx（2.3.2）也就是说dx必须与每个约束函数的梯度正交。对于极值函数f,如果在某点的梯度满足1,(1,2,...,)siiiifgisR那么,沿着满足约束条件的方向有1ddd0siiiffgxx该点也就是条件极值点。反之,如果要求沿着满足约束条件的方向有dd0ffx必须有1,(1,2,...,)siiiifgRis这样,就有*0f（2.3.3）而*1siiiffg（2.3.4）所以对于约束极值问题,我们可以通过引进拉格朗日乘子),...,2,1(siRi来构造一个新的函数，可以把原来的条件极值问题转化为新函数*f的无条件极值问题。2.3.2存在代数约束下的泛函极值泛函为121212[,,