高数积分总结

第四章一元函数的积分及其应用第一节不定积分一、原函数与不定积分的概念定义1.设)(xf是定义在某区间的已知函数，若存在函数)(xF，使得)()(xfxF或dxxfxdF)()(,则称)(xF为)(xf的一个原函数定义2.函数)(xf的全体原函数CxF)(叫做)(xf的不定积分，，记为:CxFxxf)(d)(其中)(xf叫做被积函数xxfd)(叫做被积表达式C叫做积分常数“”叫做积分号二、不定积分的性质和基本积分公式性质1.不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即xxfxxfxfxxfd)(d)(d)(d)(；.性质2.函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即CxfxfCxfxxf)()(d,)(d)(或性质3.非零的常数因子可以由积分号内提出来，即)0(d)(d)(kxxfkxxkf.性质4.两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(基本积分公式(1)Ckxxkd(k为常数)(2)Cxxx111d(1)(3)Cxxxlnd1(4)Cedxexx(5)Caaxaxxlnd(6)Cxxxsindcos(7)Cxxxcosdsin(8)Cxxxtandsec2(9)Cxxxcotdcsc2(10)Cxxxxsecdtansec(11)Cxxxxcscdcotcsc(12)Cxxxxtanseclndsec(13)Cxxxxcotcsclndcsc(14)Cxxxarctand112(15)Cxxxarcsind112(16)Cxxxarcsind112三、换元积分法和分部积分法定理1.设)(x可导，并且.)(d)(CuFuuf则有CxFxuCuFuufxuxxfxxxf))(()()(d)()()(d)]([d)()]([代回令凑微分该方法叫第一换元积分法(integrationbysubstitution)，也称凑微分法．定理2.设)(tx是可微函数且0)(t，若)())((ttf具有原函数)(tF，则dxtfxx换元11d.txftttFtCFxC积分回代该方法叫第二换元积分法:)d(的原则或及选取vvu1)v容易求得;xvuxvudd)2比解题技巧::的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为u后者为.v第二节定积分概念一、原函数与不定积分的概念二、定积分的定义和存在定理三、定积分的几何意义与定积分的性质1．定积分的几何意义2.定积分的性质性质1.dxxgxfba)]()([badxxf)(badxxg)(.性质2.badxxkf)(kbadxxf)((k是常数).性质3.badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(.性质4.badxxf)(abdxba.推论1.如果在],[ba上，则),()(xgxfbadxxf)(badxxg)((ab).推论2.badxxf)(badxxf)(性质5.0)(badxxf)(ba.性质6.设M与m分别是函数],[)(baxf在上的最大值及最小值，则)(abmbadxxf)()(abM(ba).性质7.(定积分中值定理)如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba]上至少存在一点，使下式成立：))(()(abfdxxfba(ba)可积的充分条件:定理1.上连续在函数],[)(baxf，则.],[)(可积在baxf定理2.,],[)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点，则.],[)(可积在baxf第三节微积分基本公式一、微积分基本公式1.变上限函数定义1.设函数)(xf在区间],[ba上连续，则它在],[ba任意一个子区间],[xa上可积，则xadxtfx)()((bxa)是上限变量x的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数.2.微积分基本公式定理2.badxxf)()(bF)(aF1.定积分的换元积分法定理3.badxxf)(dtttf)()(注：设)(xf在],[aa上连续,证明(1)若)(xf在],[aa为偶函数，则aadxxf)(=adxxf0)(2；(2)若)(xf在],[aa上为奇函数，则aadxxf)(=0.2.定积分的分部积分法定理4.bababavduuvudv][第四节定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=~）一、定积分的微元法其实质是找出A的微元dA的微分表达式.二、定积分在几何中的应用1.平面图形的面积badxxfA)(.2.旋转体的体积xxAVbad)(三、定积分在物理上的应用1.变力做功baxxFWd)(2.液体静压dxxxfFba)(g四、定积分在医学上的应用