吉本斯-博弈论基础答案

Gibbons《博弈论基础》习题解答（CENET）第一章猪头非整理[e-mail]1.1略1.2不会被重复剔除严格劣战略剔除的战略是：T,M,L,R；纯战略纳什均衡是(T,R)和(M,L)。1.3设此博弈的纯战略纳什均衡是（*1s,*2s）。对于参与人1来说，**1221***111220111max{max,max}max{1,0}1sssssssss≤≤--≤==-=-；同理，**211ss=-。也即，此博弈的纯战略纳什均衡为（*1s,*2s），且满足**121ss+=，**120,1ss≤≤。1.4对于第i个厂商，其目标为最大化自己的利润，即：*00maxmax()max()iiiiiiiqqpcqaqqcqp-≥≥=-=---；由一阶条件/0iiqp∂∂=，可得：**()/2iiqaqc-=--……（1）（1）式两端乘以2，再减*iq，可得：**iqaQc=--……（2），对于任意的i都成立。所以所有的*iq都相等。由此，将***iiiQqnq==∑代入（2）式，可得：*()/(1)iqacn=-+，*()/(1)Qnacn=-+，*()/(1)pancn=++。当n趋近于无穷时，*p趋近于边际成本c，市场趋近于完全竞争市场。1.5双方都生产/2mq时，每一方的利润都为21()/8acp=-；一方生产/2mq，另一方生产cq时，生产/2mq的一方的利润为225()/48acp=-，生产cq的一方的利润为235()/36acp=-；双方都生产cq时，每一方的利润都为24()/9acp=-。以标准式表示为：qm/2qc1p,1p2p,3p3p,2p4p,4p因为13pp，24pp，所以每一方都有一个严格劣战略，即qm/2，从而最后的均衡为qm/2qcGibbons《博弈论基础》第二章习题解答（部分）仅供参考！！E-mail:[e-mail]-1-2.1采用逆向归纳法，先最大化家长的收益：给定孩子的行动A，来选择自己的行动B,()()pcBMaxVIBkIB-++一阶条件：'()pVIBk-=,⇒*'1()()pBIAVk-=-接着最大化孩子的收益，给定家长的反应函数*B，来选A：'1(()()())cpAMaxUIAIAVk-+-一阶条件：'*''()[()()]0ccpUIBIAIA++=由于U是递增又严格凹的，'*()0cUIB+≠这与孩子的选择可是全家的收入最大化的一阶条件相同：''()()0cpIAIA+=2.2采用逆向归纳法，先最大化家长的收益：给定的孩子的行动S，来选择自己的行动B,12()[()()]pcBMaxVIBkUISUSB-+-++一阶条件：''2()()pVIBkUSB-=+，反应函数满足：*221//()0dBdSkUkUV-=--即，孩子储蓄减少，家长给予更高的赠与。接着最大化孩子的收益：给定反应函数*B，来选S：*12()()cSMaxUISUSB-++一阶条件：''**12()()(1/)cUISUSBdBdS-=++，由此可得：''**120()/()(1/)1cUISUSBdBdS-+=+（*）因此当增加S时，1()cUIS-会减小，同时，()/0dSBdS+，SB∴+会增加，∴2()USB+会增加，因为（*）式，2()USB+增加的幅度比11()UIS-减小的幅度大，所以孩子的收益效用增大了，同时家长的收益效用也增大了。2.3根据Shaked和Sutton的研究发现，我们可以把无限博弈截开（见Gibbons教材55页），首先分析前三阶段：假设在第三阶段参与人1提出S，参与人2接受1-S，则解决方案为（S，1-S）。则在第二阶段2提出不少于1Sd给参与人1，1就会接受，解决方案11(,1)SSdd-。则在第一阶段参与人1提出不少于21(1)Sdd-给参与人2，2就会接受，解决方案为（211(1)Sdd--，21(1)Sdd-）推广到无限期，从第一阶段开始的博弈和从第三阶段的博弈是一样的，所以解：211(1)Sdd--=S得出212(1)/(1)Sddd=--解决方案：()2122212(1)/(1),(1)/(1)ddddddd----2.4，2.5略2.6采用逆向归纳法：Gibbons《博弈论基础》第二章习题解答（部分）仅供参考！！E-mail:[e-mail]-2-（1）在第二阶段企业2和企业3决策：()[]2232102022cqqqqqaMaxMaxqq----=≥≥p()[]3332103033cqqqqqaMaxMaxqq----=≥≥p得反应函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=331312qcaqqcaq（2）第一阶段企业1的决策：()[]11321cqqqqqaMax----⇒011=∂∂qp⇒将3132qcaqq--==代入得21caq-=632caqq-==∴2.7采用逆向归纳法（1）第一阶段，企业最大化其收益：1)(12102111+-=∴+-=∴==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛--=∴=--+-=---=∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛--=∑∑∑∑≠≠nwanLnwaLLLLwaLLwaLLwLaLwLaLinijjiijjiinjiinjiipp（2）第二阶段，工会最大化其收益21)()()(*waawnwanwawLwawMaxw+=⇒+--⇒-所以企业数量不影响工会效用。2.8，2.9略2.10思路：逐个分析上述的四种情形：第一种情形，第一阶段选择Qi，第二阶段选择Pi，即双方均采取合作的策略，得益均为6；Gibbons《博弈论基础》第二章习题解答（部分）仅供参考！！E-mail:[e-mail]-3-第二种情形和第三种情形下，实际上有一方是采取了不合作，其得益为x，另一方即利益受损方得益为2；第四种情形实际上是双方都不采取合作的策略，而根据题目要求，对于x，下述战略是一个子博弈精炼纳什均衡，所以x必须小于双方均合作时的收益6，否则第一种情形不会出现，因为既然x6了，双方均会选择不合作而使情形一不会出现。由题目先前给定的条件x4，综合之得x的取值为（4,6）。（可参见教材68页的分析）2.11能够。战略组合为：在第一阶段选择(B,R)，若第一阶段的结果是(B,R)，则第二阶段选择(T,L)；若第一阶段的结果不是(B,R)，则第二阶段选择(M,C)。证明为子博弈完美均衡SPE：显然第二阶段的策略组合是NE，第一阶段若1偏离，不选择B而选择T，则会增加1单位收益，但在第二阶段会减少2单位收益，所以1不会偏离，若1在第一阶段选择B，则2会选择R，所以(B,R)会成为第一阶段的SPE。2.12略2.13使用触发战略，双方都采取垄断价格为：()/2ipac=+（最大化利润()()iiappc--得出），只要任何一方违背时，以后就转向阶段博弈的价格ipc=。如一直使用垄断价格，则每个企业收益每期都一样为，2()/8iacp=-如在t期某企业违背了战略，t+1期开始双方的收益相同都为0，在t期它的最大收益为2()/4ac-（考虑此企业只是把价格边际上减少一点点，所有的利润都归它），如不违背则把以后无限期的收益贴现到t期可得11d-2()/8ac-，触发战略有效的条件是：11d-2()/8ac-2()/4ac-，得到：1/2d（可参见谢识予的《经济博弈论》习题解答）。2.14略2.15（1）垄断的产量、价格、利润：π=Q(a-Q)-CQ利润最大化时：a-2Q=C，从而Q=(a-c)/2.此时价格为(a-c)/2。（2）古诺均衡下的产量、价格、利润：π=(a-∑qi)qi-cqi)3,2,1(10nincaqcqqaqiiiii=+-=⇒=---=∂∂∑pGibbons《博弈论基础》第二章习题解答（部分）仅供参考！！E-mail:[e-mail]-4-价格为.11)(++=+--=nancncanaP利润为21111⎟⎠⎞⎜⎝⎛+-=+-⋅-+-⋅++=ncancacncanancip企业违背垄断产量时的各期利润：()ncnanpcannqcqqncanaqcqqqcannaijiiiiiii4)13()1(),(4102))(1(21-++=-+=⇒=------=∂∂-⎟⎠⎞⎜⎝⎛----=pp利润为222)(16)1(cann-+要使企业不违背产量，须满足：+-+-≤++-++ncancancann4)(4)()1()(16)1(2222222dd解之得：22216)1()1(4)1(nnnnn-++-+≥d(0δ1)待续Gibbons《博弈论基础》第三章习题解答（部分）仅供参考！！E-mail:[e-mail]-1-3.1略3.2在市场需求为高时，企业1的最优策略为：121max()HHHaqqcq---×------------------------（1）推出212HHaqcq--=-------------------------------（2）在市场需求为低时，企业1的最优策略为：121max()LLLaqqcq---×------------------------------（3）推出212LLaqcq--=--------------------------------（4）企业2的最优策略为：122122max{()(1)()}HHLLaqqcqaqqcqqq---×+----×----------（5）由一阶条件的得：112()(1)()*2HHLLaqaqcqqq-+---=---------------------------------------------------------（6）（6）与（2），（4）联立：1(3)(1)2*6HLHaacqqq----=1(2)2*6LHLaacqqq+--=2(1)*3HLaacqqq+--=结论：企业1战略11(*,*)HLqq，企业2战略2*q为贝叶斯纳什均衡。3.3行动空间：[0，a）类型：{,}HLbb推断：(/),(/)1HLLLPbbPbbqq==-(/),(/)1HHLHPbbPbbqq==-效用函数：企业imax{()()(1)()()iiHjHiiHjLpcapbppcapbpqq---+----max{()()(1)()()iiLjHiiLjLpcapbppcapbpqq---+----企业jmax{()()(1)()()jjHiHjjHiLpcapbppcapbpqq---+----max{()()(1)()()jjLiHjjLiLpcapbppcapbpqq---+----求解一阶条件Gibbons《博弈论基础》第三章习题解答（部分）仅供参考！！E-mail:[e-mail]-2-得2(1)()**22(1)LHjHiHHLbbappbbqqq+--==×++-3.4（1）（B，L）（2）参与者1在左边博弈时选T，右边博弈时选B；如果参与者推断自然选择左边博弈的概率2/3，参与者2选L如果参与者推断自然选择左边博弈的概率=2/3，参与者2选L和选R无差异如果参与者推断自然选择左边博弈的概率2/3，参与者2选R（3）参与者1以相等的概率选T或选B；如果参与者推断自然选择左边博弈的概率2/3，参与者2选L如果参与者推断自然选择左边博弈的概率=2/3，参与者2选L和选R无差异如果参与者推断自然选择左边博弈的概率2/3，参与者2选R（4）自然选择左边博弈时，参与者1选T，参与者2选L；自然选择右边博弈时，参与者1选B，参与者2选R；3.5假设参与者1的私人信息为ct，参与者2的私人信息为pt。,(0,)cpttx∈正面反面正面反面当ctc时，参与者1选正面；当ptp时，参与者2选择反面因此，参与者1选择正面的概率为xcx-，选背面的概率为cx；参与者2选择正面的概率为px，选背面的概率为xpx-。对于参与者1，若选正面的收益大于选择反面，则：(1)(1)cxppxpptxxxx--+×--