实变函数复习要点

山东农业大学数学系于瑞林2012《实变函数》复习要点第一章集合一、考核知识点1.集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算；2.对等和基数及其性质；3.可数集合的概念及其性质；4.不可数集合的概念及例子．二、考核要求1.集合的概念了解：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系．2.集合的运算（1）了解：集合的并、交、补概念．DeMorgan公式()ccAA()ccAA（2）综合应用：集合的并、交、补运算，以及集合列的极限运算．例利用集合的并、交、补运算证明集合相等．例根据集合列上下极限的定义，会计算集合列的上下极限与极限．例如11{:11},nnnAxxnN设，则山东农业大学数学系于瑞林1[1,0]nnA，1(2,1)nnA．3.对等与基数（1）了解：集合的对等与基数的概念；（2）综合应用：集合的对等的证明．例利用定义直接构造两集合间的1-1对应．4.可数集合（1）了解：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类；（2）综合应用：可数集合的性质．5.不可数集合了解：不可数集合的概念、例子．第二章点集一、考核知识点1.n维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质；2.聚点、内点、开核、边界、导集和闭包及其性质；3.开集、闭集及其性质；4.直线上的开集的构造，构成区间．二、考核要求1.n维欧氏空间了解：邻域的概念、有界点集概念．2.聚点、内点山东农业大学数学系于瑞林了解：聚点、内点、外点、孤立点、开核、边界、导集和闭包．如聚点与内点的关系，如聚点的等价定义：设0PE，存在E中的互异的点列nP使0limnnPP3.开集，闭集（1）了解：开集、闭集的概念；（2）综合应用：开集和闭集的充要条件以及开集和闭集的性质；例如A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点（即闭集为对极限运算封闭的点集）．（3）了解：Bolzano-Weierstrass定理、Borel有限覆盖定理．4.直线上的开集的构造（1）了解：直线上的开集的构造及构成区间的概念；例设)2,0(1G,)4,3()2,1(2G21GGG,求G的构成区间.解G的构成区间为(0,2)、(3,4)．（2）简单应用：康托集，Cantor集的基数为C．第二章测度论一、考核知识点1.外测度的定义以及简单性质；2.可测集的卡氏条件（Caratheodory条件）和可测集的性质；山东农业大学数学系于瑞林3.零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel集及其可测性；G型集、F型集；可测集的构成．二、考核要求1.外测度（1）综合应用：外测度的定义．如设B是有理数集，则0mB．（2）了解：外测度的性质．非负性：0mA单调性：ABmAmB若，则次可数可加性：**11()nnnnmAmA2.可测集（1）了解：可测集的卡氏条件（Caratheodory条件）；（2）分析：可测集的性质．可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭．3.可测集类（1）简单应用：零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel集及其可测性；G型集、F型集．零集、区间、开集、闭集、G型集（可数个开集的交）、F型集（可数个闭集的并）、Borel型集（从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集．例零测度集：单点集、有理数集、康托集；山东农业大学数学系于瑞林例零测度集与可数集的关系；例“开集类”，“波雷尔集类”，“可测集类”，“G型集类”之间的关系．（2）了解：可测集的构成．可测集与开集、闭集只相差一小测度集可测集可由G型集去掉一零集，或F型集添上一零集得到．第三章可测函数一、考核知识点1.可测函数的定义及其等价定义、可测函数的性质和可测函数与简单函数的关系；2.叶果洛夫定理；3.依测度收敛的定义、性质、Riesz定理、勒贝格定理；4.鲁津定理．二、考核要求1.可测函数及其性质（1）简单应用：可测函数的定义及其等价定义；（2）综合应用：可测函数的性质．零集上的任何函数都是可测函数；简单函数是可测函数；可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数；在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性，山东农业大学数学系于瑞林即：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测；可测函数关于子集、并集的性质；可测函数类关于四则运算封闭；可测函数类关于确界运算和极限运算封闭．2.叶果洛夫定理了解：叶果洛夫定理．测度有限的集合上的可测函数列的收敛“基本上”是一致收敛．3.依测度收敛（1）了解：依测度收敛的定义、性质．（2）综合应用：Riesz定理、勒贝格定理．处处收敛和依测度收敛的关系；一致收敛和依测度收敛的关系．Effn于Euaffn于..Eeaffn于..叶果洛夫定理叶果洛夫定理mE+∞Lebesgue定理mE+∞叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理子列子列RieszRiesz定理定理子列Effn于Euaffn于..Eeaffn于..Effn于Euaffn于..Eeaffn于..叶果洛夫定理叶果洛夫定理mE+∞叶果洛夫定理叶果洛夫定理mE+∞Lebesgue定理mE+∞Lebesgue定理mE+∞叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理子列子列RieszRiesz定理定理子列子列RieszRiesz定理定理子列子列4.可测函数的构造：可测函数和连续函数的关系．了解：鲁津定理．可测函数“基本上”是连续函数（鲁津定理）．山东农业大学数学系于瑞林第四章积分论一、考核知识点1.勒贝格积分的定义、勒贝格积分与黎曼积分的关系；2.勒贝格积分的性质；3.勒贝格控制收敛定理；4.绝对连续函数与牛顿-莱布尼兹公式；5.()pLE的定义．二、考核要求1.勒贝格积分的定义（1）简单应用：勒贝格可积的充要条件；设f(x)是可测集()nEmE上的有界函数，则f(x)在E上可积的充要条件是f(x)在E上可测．（2）分析：L积分与R积分的关系；若有界函数fx在闭区间,ab上黎曼可积，则fx在,ab上也是勒贝格可积的，且二者积分值相等．fx在,ab上黎曼可积的充要条件是fx在,ab上的不连续点所成之集测度为零．（3）计算常见函数的L积分值，例21,0,1;1,1,.xxfxxx求0,fxdx．山东农业大学数学系于瑞林例31\()xfxxxx，，，计算[0,1]()fxdx．3.勒贝格积分性质简单应用绝对可积性与绝对连续性．4.积分的极限定理分析：勒贝格控制收敛定理；掌握：Fatuo引理的证明；利用勒贝格（Lebesgue)控制收敛定理计算积分例计算1[0,1]()lim(01)1()ssnnxdxsnx；例计算1(0,)1lim1kkkdtttk．5.有界变差函数与微分1.有界变差函数了解：有界变差函数的定义、分解定理，以及可微性；2.绝对连续函数了解：绝对连续函数的定义，与牛顿-莱布尼兹公式的关系．6.()pLE了解：()pLE的定义．关于考核目标说明了解：指能够对有关名词、概念、知识、术语作出正确解释，山东农业大学数学系于瑞林并能记住和正确表述出来．简单应用（会）：在了解的基础上，能够进一步深入全面地把握基本概念、基本原理，使所学知识融汇贯通，能够正确运用．综合应用（掌握）：能够正确熟练地简单应用所学知识，处理相关一般性问题．分析（熟练掌握）：在理解掌握所学知识的基础上用所学知识分析解决实际问题．温馨提示习题以课后作业题、习题课上讲解题目为主！考试题目类型：判断题、填空题、叙述题、计算题、证明题．祝同学们复习愉快！