高阶微分方程求解

高阶微分方程习题课一、主要内容高阶方程可降阶方程线性方程解的结构二阶常系数线性方程解的结构特征根法特征方程的根及其对应项待定系数法f(x)的形式及其特解形式微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子1、可降阶的高阶微分方程的解法)()1()(xfyn型解法接连积分n次，得通解．),()2(yxfy型特点.y不显含未知函数解法),(xPy令,Py代入原方程,得)).(,(xPxfP),()3(yyfy型特点.x不显含自变量解法),(xPy令,dydpPy代入原方程,得).,(PyfdydpP2、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:)1(0)()(yxQyxPy形如也是解则是解若221121,,ycycyyy是通解则是两无关解若221121,,ycycyyy（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:)2()()()(xfyxQyxPy形如非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐通解=齐通解+非齐特解2121)()()(yyyxfxfxf则若的特解分别是则的特解是若)(),(,)()()(21212121xfxfyyxjfxfxfyjyy3、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn形如n阶常系数线性微分方程0qyypy二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.0qyypy特征方程为02qprr特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx推广：阶常系数齐次线性方程解法n01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110jk复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(111011104、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程解法待定系数法.型)()()1(xPexfmx,)(xQexymxk设是重根是单根不是根2,10k型]sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx],sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexymmxk设次多项式，是其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max.1;0是特征方程的单根时不是特征方程的根时jjk二、典型例题例1.212yyy求通解解.x方程不显含,,dydPPyPy令代入方程，得,212yPdydPP,112yCP解得，,11yCP,11yCdxdy即故方程的通解为.12211CxyCC例2.1)1()1(,2yyexeyyyxx求特解解特征方程,0122rr特征根,121rr对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY设原方程的特解为,)(2*xebaxxy,]2)3([)(23*xebxxbaaxy则,]2)46()6([)(23*xebxbaxbaaxy代入原方程比较系数得将)(,)(,***yyy,21,61ba原方程的一个特解为,2623*xxexexy故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy,1)1(y,1)31(21eCC,]6)1()([3221xexxCCCy,1)1(y,1)652(21eCC,31121eCC,651221eCC由解得,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为.26])121(612[23xxxexexexeey例3设二阶非齐次线性方程的三个特解为xxyxxyxycos,sin,321求其通解解由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解故xyysin12xyycos13是齐方程的两个解齐通解xcxcYsincos21且线性无关非齐通解xxcxcysincos21例4设f(x)具有连续的二阶导数试确定f(x)使曲线积分dyxfydxxfxfxeLx)()]()(2[)(常数与路径无关解由曲线积分与路径无关的条件得)()(2)(xfxfexfx即xexfxfxf)()(2)(这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程齐通解xexccy)(21时1xexy2*21xexxccxf)2()(221时1xey2*)1(1xxeexccxf221)1(1)()(例5).2cos(212xxyyy求解方程解特征方程,042r特征根,22,1ir对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY设原方程的特解为.*2*1*yyy,)1(*1baxy设,)(*1ay则,0)(*1y，得代入xyy214，xbax2144由，04b，214a解得，0b，81a;81*1xy),2sin2cos()2(*2xdxcxy设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy，得代入xyy2cos214,2cos212sin42cos4xxcxd由，04c，214d即，81d，0c;2sin81*2xxy故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy例6.)(),(1)()(2此方程的通解（２）的表达式；（１），试求：的齐次方程有一特解为，对应有一特解为设xfxpxxxfyxpy解（１）由题设可得：),()1)((2,02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxxp（２）原方程为.313xyxy，的两个线性无关的特解程是原方程对应的齐次方显见221,1xyy是原方程的一个特解，又xy1*由解的结构定理得方程的通解为.1221xxCCy测验题一、选择题:1、一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy的通解是().(A)])([)()(CdxexQeydxxPdxxP；(B)dxexQeydxxPdxxP)()()(；(C)])([)()(CdxexQeydxxPdxxP；(D)dxxPcey)(.2、方程yyxyx22是().(A)齐次方程；(B)一阶线性方程；(C)伯努利方程；(D)可分离变量方程.3、2)1(,022yxdxydy的特解是().(A)222yx；(B)933yx；(C)133yx；(D)13333yx.4、方程xysin的通解是().(A)322121cosCxCxCxy；(B)322121sinCxCxCxy；(C)1cosCxy；(D)xy2sin2.5、方程0yy的通解是().(A)1cossinCxxy；(B)321cossinCxCxCy；(C)1cossinCxxy；(D)1sinCxy.6、若1y和2y是二阶齐次线性方程0)()(yxQyxPy的两个特解,则2211yCyCy(其中21,CC为任意常数)()(A)是该方程的通解；(B)是该方程的解；(C)是该方程的特解；(D)不一定是该方程的解.7、求方程0)(2yyy的通解时,可令().(A)PyPy则,；(B)dydPPyPy则,；(C)dxdPPyPy则,；(D)dydPPyPy则,.8、已知方程02yyxyx的一个特解为xy,于是方程的通解为().(A)221xCxCy；(B)xCxCy121；(C)xeCxCy21；(D)xeCxCy21.9、已知方程0)()(yxQyxPy的一个特1y解为,则另一个与它线性无关的特解为().(A)dxeyyydxxP)(21121；(B)dxeyyydxxP)(21121；(C)dxeyyydxxP)(1121；(D)dxeyyydxxP)(1121.10、方程xeyyyx2cos23的一个特解形式是().(A)xeAyx2cos1；(B)xxeBxxeAyxx2sin2cos11；(C)xeBxeAyxx2sin2cos11；(D)xexBxexAyxx2sin2cos2121.二、求下列一阶微分方程的通解:1、)1(lnlnxaxyxyx；2、033yxxydxdy；3、022yxxdyydxydyxdx.三、求下列高阶微分方程的通解:1、012yyy；2、)4(2xexyyy.四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、0)(2223dyxyxdxy,11yx时，；2、xyyycos2,23,00yyx时，.六、设可导函数)(x满足1sin)(2cos)(0xtdttxxx,求)(x.七、我舰向正东海里1处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰.设敌舰以0v常数沿正北方向直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?测验题答案一、1、A；2、A；3、B；4、A；5、B；6、B；7、B；8、B；9、A；10、C.二、1、xcaxyln；2、12122xeCyx；3、Cxyyxarctan222.三、1、)cosh(1211CxCCy；2、xxexxeCeCCyxxx222321)9461(.四、1、0)ln21(2yyx；2、xxeyxsin21.五、xxxyln.六、xxxsincos)(.七、)10(32)1(31)1(2321xxxy.