最优化复习题2

习题课习题1用进退法求函数3()21fxxx的搜索区间,取初始点为12x,步长为12h.解:115()()28fxf,11()()(0)122fxhff因为()()fxfxh,搜索成功,步长加倍.计算11(2)(3)(3)(1)022fxhhfxhff因为()(3)fxhfxh,搜索成功,步长加倍;重置:010,212xh计算00()1,()0fxfxh因为00()(3)fxhfxh,得到搜索区间为00[,3][0,3]xxh习题2用黄金分割法求函数2()2fxxx在区间[1,3]上的极小值，要求区间长度不大于原始区间长的12.解:迭代次数[a,b]t2t1f2f1|b-a|ε0[-1,3]0.5281.4721.7512.695否1[-1,1.472]-0.0560.5282.0591.751否2[-0.056,1.472]0.5280.8881.7511.901否x*=(-0.056,1.472)/2=0.708习题3用DFP算法求2212min()4fXxx,取0[1,1]TX.解:当取H0=I时,DFP算法与最速下降法具有相同的第一个迭代点,2008A,122()8xgXx,011X,028g,10.738460.04616X,17130,11.476920.36923g以下用DFP法作第二次迭代0100.261541.04616SXX,0100.523088.36923ygg0000001000000TTTTSSHyyHHHSyyHy因为008.89236TSy,0000070.31762TTyHyyy000.068400.273610.273611.09445TSS,0000000.273614.37784.377870.04001TTHyyHyy所以11.003800.031490.031490.12697H搜索方向为1111.494160.09340PHg从1X出发沿1P进行直线搜索,即2110.738461.494160.046160.09340XXtPt由11()0dfXtPdt知0.49423t,所以20.00000.0000X由于2()0gX,所以2X是极小点.习题4用障碍函数法求解1min()2..30fxxstx解:构造辅助函数：11(,)()()23kkkGxrfxrBxxrx212(3)krdGdxx，由0dGdx得32kkxr当32kkxr时，最优解落在可行域内从而*lim3kkxx为原问题的最优解。最优值为*3()2fx。习题5对问题f(x)=x12+2x22+4x1+4,初值x0=(3,5)T,用牛顿法迭代一步求其近似最优解.解:1224()4xfxx，010()20fx220()04fx2020()04fx2-10102[()]104fx,2-1005[()]()5fxfx2-110002[()]()=0xxfxfx习题6用FR共轭梯度法求解0[0,0]TX,221212131min()222fxxxxxx解:221212131min()222fxxxxxx122132()xxgxxx由0(2,0)0Tg，故取0(2,0)Tp，从0x出发,沿0p作一维搜索,即求200min()64fxp的极小点.得01/3,于是10001(2/3,0),(0,2/3)TTxxpg,由FR公式得:1100019TTgggg,故1100(2/9,2/3)Tpgp从1x出发,沿1p作一维搜索,求211442min()2793fxp的极小点解得:13/2,于是2111(1,1)Txxp.此时,2(0,0)Tg,故2*(1,1),*1Txxf习题7用外罚函数法求解约束优化问题221212min()(1)(1)..1fxxxstxx解:构造罚函数:2221212(,)()()(1)(1)(1)FxMfxPxxxMxx其中M0为充分大的正数.求这个无约束函数的极小点.由120FFxx,得:1212(1)1(1)1MxMxMMxMxM求解上述方程组得:121()()21MxMxMM令M有1211((),())(,)*22TTxMxMx习题8已知优化问题1222122min()7s.t.300fxxxxxx（1）写出的K-T条件；（2）33(,)22是否为该问题的K-T点；（3）33(,)22是否为该问题的最优解？若是最优解，请说明理由.解:（1）11122221122212120120(3)0000xxxxx（2）将33(,)22代入（1）式成立，故是该问题的K-T点（3）函数12()7fxxx，22()gxx均为线性函数，故为凸函数。函数22112()3gxxx，由于2120[()]02gx正定，因此也为凸函数，所以K-T点33(,)22是该问题的最优解.