8.5一元线性回归分析案例

8.5一元线性回归分析案例课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!数学３——统计内容1.画散点图2.了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程y＝bx＋a4.用回归直线方程解决应用问题课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是y=x2确定性关系问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否有一个确定性的关系？例如：在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455复习变量之间的两种关系课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!1020304050500450400350300·······施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455xy施化肥量水稻产量自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。1、相关关系的定义：1）：相关关系是一种不确定性关系；注对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。2）：课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!现实生活中存在着大量的相关关系。如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!1020304050500450400350300·······发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455xy散点图施化肥量水稻产量课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!1020304050500450400350300·······xy施化肥量水稻产量yx对于一组具有线性相关关系的数据1122(,),(,),...,(,),nnxyxyxy我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：^1122211()(),......(2)()nniiiiiinniiiixxyyxnxybxxxnxy^^,......(1)aybx1111,.nniiiixxyynn其中(,)xy称为样本点的中心。课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!1、所求直线方程叫做回归直线方程；相应的直线叫做回归直线。2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。1122211()()ˆ,()ˆˆnniiiiiinniiiixxyyxnxybxxxnxaybxy1、回归直线方程课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!nn(x-x)(y-y)xy-nxyiiiii=1i=1ˆb==,nn222(x-x)x-nxiii=1i=1ˆˆa=y-bx.nn11x=x,y=y.iinni=1i=1其中2.求回归直线的方法——最小二乘法：ˆˆˆybxa(,)xy称为样本点的中心。课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!4、求回归直线方程的步骤：1111(1),nniiiixxyynn求211(2),.nniiiiixxy求（3）代入公式1122211^()(),(),......(1)nniiiiiinniiiixxyyxnxybxxxnxaybxy（4）写出直线方程为y=bx+a,即为所求的回归直线方程。^课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!应用：利用回归直线方程对总体进行线性相关性的检验例1、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：x（0.01%）104180190177147134150191204121y（min）100200210185155135170205235125（1）y与x是否具有线性相关关系；（2）如果具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!解：(1)列出下表,并计算i12345678910xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi1040036000399003274522785180902550039155479401512510101022111159.8,172,265448,312350,287640iiiiiiixyyyxx1011010222211100.9906.(10)(10)iiiiiiixyxyrxxyy于是，课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!10^110221101.26710iiiiixybyxxx^30.51.aybx所以回归直线的方程为=1.267x-30.51ˆy(3)当x=160时,1.267.160-30.51=172ˆy(2)设所求的回归方程为ˆˆˆybxa课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!5.如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？在《数学3》中，我们学习了用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的方法。相关系数r12211()().()()niiinniiiixxyyxxyy[0.751],[1,0.75],[025,0.25],rrr当，表明两个变量正相关很强；当表明两个变量负相关很强；当.表明两个变量相关性较弱。课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!小结：回归分析的内容与步骤：统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量。回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。其主要内容和步骤是：首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量；其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验；课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!172.85849.0ˆxy分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量．ˆ学身高172cm女大生体重y=0.849×172-85.712=60.316(kg)2.回归方程：1.散点图；本例中,r=0.7980.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值。课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计1.画散点图2.了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程y＝bx＋a4.用回归直线方程解决应用问题选修2-3——统计案例5.引入线性回归模型y＝bx＋a＋e6.了解模型中随机误差项e产生的原因7.了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系8.了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果1、线性回归模型：y=bx+a+e，(3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=(4)2.2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为残差。)iiyy(iiieyy=3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。21()niiiyy课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!4、两个指标：（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作为的估计量，越小，预报精度越高。22111ˆˆˆˆ(,)(2)22nieQabnnn22（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：222112211()()1()()nniiiiinniiiiyyyyRyyyyR21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差。课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。5、残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。12,,,neee编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。残差图的制作及作用1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；3、对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点•错误数据•模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!课题：选修2-38.5回归分析案例再冷的石头，坐上三年也会暖!例2在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需求量Y1210753解：1