球的切接问题

球的“接”与“切”：•两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切•两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上•解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题球与正方体的“切”“接”问题⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究一：若正方体的棱长为a，则ABCDD1C1B1A1O分析：球O与正方体的棱都相切，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体的棱的中点都在球面上。ABCDD1C1B1A1O⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究一：若正方体的棱长为a，则a球与正方体的“接切”问题1.4cm.2.3515.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求这个球的体积长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，，，求它的外接球表面积3、甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()A.1:2:3B.C.D.1:2:31:8:27331:4:9球与正四面体的切与接⑴正四面体的内切球直径＝⑵正四面体的外接球直径＝⑶与正四面体所有棱相切的球直＝探究二：若正四面体的棱长为a，则求棱长为a的正四面体外接球、内切球及棱切球的半径．[解]设正四面体A—BCD的高为AO1，外接球球心为O，半径为R，如图所示．ABCDOABCDO求正四面体外接球的半径求正方体外接球的半径解法2：典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法2、正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切．求：(1)外接球的表面积和体积；(2)内切球的表面积与体积．61、求棱长为a的正四面体的外接球、棱切球、内切球的体积之比。练习解：(1)如图所示，底面正三角形的中心F到一边的距离为22136222123.1632.2132623.22FDPDSSSS223299296侧侧全底＝＝，则正三棱锥侧面的斜高＝＝＝＝＝＋＝＋＝＋(2)设正三棱锥P—ABC的内切球的球心为O，连接OP、OA、OB、OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.——————111(23).33311363322(23)23.PABCOPABOPBCOPACOABCABCPABCVVVVVSrSrSrrVr23221232侧全＝＋＋＋＝＋＝＝＋又＝＝，＋＝23322323618123223(6)(6).48(6)(6)33rSV2324240162922内切球内切球得＝＝＝－，＝－＝－＝－＝－1.正方体的内切球、棱切球、外接球设正方体的棱长为a,则:正方体的内切球、外接球、棱切球直径径分别为:132.222aaa、、2.正四面体的内切球、棱切球、外接球设正四面体的棱长为a,则:正四面体的内切球、棱切球、外接球半径分别为:626.1244aaa、、圆锥的内切球圆锥的外接球圆锥内接正四棱柱1.2(1)(2).2.15123.aa正四棱锥的底面边长为，侧棱长为求它的外接球的体积；求它的内切球的表面积在半径为的球内有一个底面边长为的内接正三棱锥，求此正三棱锥的体积二.温故知新同学们，请看下面球与正方体的三种组合体，你能从中得到什么结论呢？结论：1.正方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半2.正方体的内切球的球心是体对角线的交点，半径是棱长的一半3.与正方体的棱都相切的球的球心是体对角线的交点，半径是面对角线长的一半ABCDD1C1B1A1O球内接正方体球外切正方体（切面）球外切正方体（切棱）