空间点线面位置关系(复习)

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系•1.能用符号语言表示空间中点线面的位置关系;•2.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理.•3.能运用公理、定理和已获得的结论证明空间位置关系的简单命题.•1.能实现文字语言、图形语言及数学符号语言之间的相互转化，会用图形与符号语言表示点线面的位置关系。•2.理解线面位置关系的含义，能解决简单的证明推理问题。•3.培养空间想象能力、逻辑思维能力。•高考考纲要求:本节教学目标:【知识梳理】1.平面的性质填一填表示基本性质文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么：这条直线上的所有点都在这个平面内ABABlll表示基本性质文字语言图形语言符号语言公理2经过不在同一条直线上的三点,有＿＿＿平面公理3如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有：⇒有且只有一个一条过这个点的公共直线A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈αPPα∩β=l,且P∈l•2空间两条直线的位置关系:①位置关系分类:平行相交任何一个平面②基本性质4和等角定理:公理4:平行于同一条直线的两条直线互相_____.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角___________.平行相等或互补[提醒](1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平面．(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，“有且只有”有时也说成“确定”．(3)异面直线的判定定理:与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.(4)确定平面的三个推论:①经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.②两条相交直线确定一个平面.③两条平行直线确定一个平面.（5）异面直线所称的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：0，π2.异面直线所成的角的范围是0，π2，所以垂直分两种情况——异面垂直和相交垂直．[提醒]小题查验一．判断正误1．平面性质(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分()×(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A()×(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()√(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()×2．判断正误（直线关系）(1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d()√(2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线()×(3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线()×3．判断正误（线面关系）(1)若直线a不平行平面α且a⊄α，则α内存在唯一的直线与a平行()×(2)三个平面两两相交，那么它们有三条交线()×(3)已知两相交直线a，b，a∥平面α，则b∥α()×(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是平行或在此平面内()√•提炼—记一记•①过直线外一点有()条直线与已知直线平行.•②过直线外一点有()个平面与已知直线垂直.•③过平面外一点有()个平面与已知平面平行.•④过平面外一点有()条直线与已知平面垂直.且只有一且只有一且只有一且只有一真题小试感悟考题试一试(1)(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平面的两个平面平行是性质定理而不是公理.2．(2015·江苏高考)已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题________(写出所有真命题的序号)．②④3.(2015·北京模拟)a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是()A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,则a∥cC4.(2015·厦门模拟)下列四个命题中,真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;②两条直线可以确定一个平面;③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;④若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l.A.1B.2C.3D.4B5．(2014·广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1,取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C，选D.[方法总结]1．空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．2．解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．6.(2015·长沙模拟)（1）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点,求证:E,C,D1,F四点共面.（2）．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线共点．(2)∵EF∥CD1，EFCD1，∴CE与D1F延长后必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．【规律方法总结】1.证明点共面或线共面的常用方法(1)直接法:通过证明直线平行或相交,从而证明线共面.(2)同一法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.2．证明多线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．[一题多变]如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A．15B．25C．35D．45[答案]D[题点发散1]如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()12[题点发散2]如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910，试求：AA1AB的值．解：设AA1AB＝t，则AA1＝tAB.∵AB＝1，∴AA1＝t，由题意知∠A1BC1为所求，又A1C1＝2，A1B＝t2＋1＝BC1，∴cos∠A1BC1＝t2＋1＋t2＋1－22×t2＋1×t2＋1＝910，∴t＝3，即AA1AB＝3.[类题通法]用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．1．(人教A版教材习题改编)给出命题①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行．②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行．其中不正确的命题的个数为________．22．在正方体ABCD­A′B′C′D′中直线BA′与CC′所成角大小为________．45°课堂达标检测3.(必修2P55练习BT1改编)直线a,b,c两两平行,但不共面,经过其中两条直线的平面的个数为()A.1B.3C.6D.0【解析】选B.如图所示,可知有3个平面.4.(必修2P38练习BT3改编)两两相交的三条直线最多可确定个平面.【解析】当三条直线共点且不共面时,最多可确定三个平面.答案:35．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是____________________________．b与α相交或b⊂α或b∥α本节练习：课时跟踪检测(四十二)”