建筑结构抗震设计与实例第4章

第四章多自由度体系结构的地震反应§4.1概述§4.2多自由度体系的自由振动§4.3多自由度体系的振型分解法§4.4多自由度体系的水平地震作用及效应§4.5多自由度体系地震反应的时程分析§4.1多自由度体系的自由振动一、多自由度体系的基本概念1．实际房屋的自由度：无限个。简化：有限自由度模型。2．常用分析模型：层间模型。每层楼面、屋面可作为一个质点，墙柱质量则分别向上下质点集中。图4.1层间模型计算简图mnmim2m1X2(t)X1(t)Xg(t)Xi(t)Xn(t)二、两自由度无阻尼运动方程的建立以两个自由度为例图4.2两个自由度的层间剪切模型计算简图h2(b)(c)h1k2k1X1(t)-m2X2K2(X2-X1)K2(X2-X1)-m1X1k1X1(a)X2(t)m2m11．质点的运动1()()gxtxt2()()gxtxt质点绝对加速度:1()xt质点相对加速度:2()xt()gxt地面运动加速度1111211221()()()Sfffkxtkxtxt恢复力惯性力2．质点1的运动方程110ISff平衡方程11121221()()()()()gmxtkkxtkxtmxt质点1运动方程(4.1)220ISff平衡方程222()()Igfmxtxt惯性力221221()()SSffkxtxt恢复力(4.2)2222212()()()()gmxtkxtkxtmxt质点2运动方程3．质点2的运动方程合并式（4.2）和（4.3），写成矩整形式1122112222212()()0()()0()0()0ggxtkkkxtmmxtkkxtxtmmxt()()()gMxtKxtMIxt(4.3)(4.4)()()()()gMxtCxtKxtMIxt考虑阻尼时采用瑞雷阻尼假定01CaMaK无阻尼自由振动方程()()0MxtKxt(4.5)1122()()sin()()xtXxttxtX考虑两自由度情况,假定位移矢量(4.6)三、多自由度体系的自振频率11222sin()sin()0XXMtKtXX122()0XKMX(4.7)代入式4.52()0KM(4.8)或(4.9)212122222kkmk0kkm－＝－展开221221221221212112()1222kkkkkkkkkmmmmmmm222122121212()0kkkkkmmmm(4.10)(4.11)•频率方程1——第一自振圆频率，2——第二自振圆频率，•频率特征112/T——较大的为第一自振周期，222/T——较小的为第二自振周期，11/2f——较小的为第一自振频率，22/2f——较大的为第二自振频率，1)体系的运动包含若干个频率的振动.2)每一个频率的振动有何特征？3)不同频率运动之间的关系？振型概念：对应某一自振频率各质点位移间的关系122()0XKMX•频率方程2121211112XkkmXk1——X11、X122221212212XkkmXk2——X21、X22特点：位移幅值的比值为常数四、多自由度体系的振型1．对应某一自振频率各质点位移幅值的比值2121222222()sin()()xtXtxtX1111111212()sin()()xtXtxtX?位移比值仍为常数21212121111112()()xtXkkmxtXk21212121111112()()xtXkkmxtXk2．对应某一自振频率各质点任意时刻位移的关系12112111221222()()()sin()sin()xtxtxtXXttXX1)多自由度运动方程的特点——耦联的微分方程;2)质点的运动包含所有振型频率;3)各主振型之间具有关系？3．体系运动的组成：包含所有的频率和振型2()0iiKMX(4.12)频率方程2()0jjKMX(4.13)TjX左乘(4.12)2()0TijiXKMX(4.14)4．振型的正交性：任意两个不同频率的主振型之间存在互相正交的性质2()0TjijXKMXTiX左乘(4.13)(4.16)22())0TjiijXMX式(4.15)－式(4.16)振型关于质量矩整正交性(4.17)0TijXMX2()0TTTiijXKMX转置变换2()0TiijXKMX(4.15)同样可得振型关于刚度矩整正交性(4.18)0TijXKX进一步可得1TiiXMX2TiiiXKX振型规格化1TiiXMX例4.1三层剪切结构如图示，求该结构自振频率和振型解:36220001.501000131.201.21.80.61000.60.6600MkgKNmB2321231235220231.5100115.57.5200.3511.613.5460014.531.346.1BKMBBBBBBBBBradsradsrads得2，T周期与自振频率的关系1230.4330.2020.136TsTsTs可得结构的各阶自振周期分别为为求第一阶段型，将代入114.5rads2112579.51200012001484.660000600389.8KM10.3010.6481同样可得230.6762.470.6012.5711第一振型第二振型第三振型1）体系的最大变形能maxmaxmax1()()2TUXtKXt2）体系的最大动能2max1()()2TEXtMXt2TTXKXXMXmaxdEU3）能量守恒原理五、结构周期的计算（一）基本周期的实用近似计算1．能量法对应第一振型，假定11KXFG112111122211111nnnTiiiiiiiiiTnnniiiiiiiiiGXgGXgGuXKXXMXmXGXGu2211111111222nniiiiiinniiiiiiGXGuTggGXGu将质点的重力荷载视为水平力所产生的质点处的水平位移iui各层重力荷载为解：32119.89.81.59.814.729.819.6GkNGkNGkN3323213219.824.544.1VGkNVGGkNVGGGkN将各楼层的重力荷载当做水平力产生的楼层剪力为例4.2用能量法求4.1基本周期2111222219.60.024514.70.04499.80.0613219.60.024514.70.04499.80.06130.424niiiniiiGuTGus则将楼层重力荷载当做水平力所产生的楼层水平位移为与精确解误差为－2%基本思想：用一个等效单质点体系代替原来的多质点体系。等效原则为：2．等效质量法1）等效单质点体系与原多质点体系的基本自振频率相等；2）等效单质点体系自由振动的最大动能与原多质点体系的基本自由振动的最大动能相等。21max111()2niiiUmx多质点体系按第一振型振动的最大动能等效单质点体系的最大动能22max11()2eqeqUmx1max2maxUU212niiieqeqmxmx0.25eqmml0.40eqmml连续质量体系弯曲型悬臂构剪切型悬臂构弯、剪型悬臂结构介于前两者之间。11eqm12eqTm等效单质点体系的频率——体系在等效质点处受单位水平力所产生的水平位移。例4.3用等效质量法求4.1基本周期21222222000.024515000.044910000.06130.04493959niiieqeqmxmxkg7.6%与精确解的相对误差为61235951.389100.466Ts在单位质点下施加单位水平力产生的水平位移为3312611111800101200101.38910kkmN3．顶点位移法基本思想：将悬臂结构的基本周期，用顶点位移来表示，而该顶点位移为将结构重力荷载作为水平荷载作用在结构顶点所产生的假想顶点位移。对质量沿高度均匀分布的等截面弯曲型悬臂杆411.78mlTEI将重力荷载作为水平荷载产生的顶点位移为：48TmgluEI11.6TTu剪切型悬臂杆弯剪型悬臂杆11.8TTu11.7TTu例4.4用顶点位移法求4.1基本周期与精确解的误差为3%11.8TTu该结构属于剪切型悬臂杆0.0613tum10.0446Ts（二）求解结构体系自振频率及振型的其它方法1．广义雅可比法求解自振频率及振型的问题归结为求解式KXMX＝（4.20）中的特征值和特征向量的问题。X广义雅可比法的基本思路是寻找合适的相似转换矩阵和，使PQ1i3PKQ＝1inPMQ＝于是特征值iii＝(i12n)＝，，，由于变换为相似变换，所得的特征值即为式（4.20）的特征值P67、69、70例题2．利用Matlab编程求解212212200000000000000000000nKM20KM3．矩阵迭代法（stodola法）•矩阵迭代法是首先假定振型形状，经过迭代调整一直到获得满意的结果，然后再确定自振频率假定体系的刚度矩阵的逆矩阵存在，将其左乘式（4.20）1K11XKMX（a）令，得（b）1DKM1DXX式（b）就是迭代方程，式中矩阵代表了结构的所有动力特征，所以也叫动力矩阵。D•矩阵迭代法的迭代步骤如下：（1）先假定一个试探振型（其中下标1表示第一振型，上标0表示初始迭代振型。将其代入式（b）得0111111ˆDXXX（c）（2）一般说和是不一样的（除非是真实的振型）。再将代入式（b）得到01X11X01X11X1221111ˆDXXX（d）其中是第二次近似振型矢量21X（3）如果和间误差满足要求，则式（d）中的就是所求的特征值。如两者误差不满足要求，则继续进行迭代。可以证明，该迭代过程最终将收敛于第一振型。11X21X§4.2多自由度体系的振型分解法一、振型分解法基本概念1．思路：利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系的动力计算变为若干个单自由度体系的问题；2．求解：在求得了各单自由度体系的解后，再将各个解进行组合，从而可求得多自由度体系的地震反应。3．两自由度体系