空间点线面位置关系复习最新版

志气太大，理想过多，事实迎不上头来，结果自然是失望烦闷；志气太小，因循苟且，麻木消沉，结果就必至于堕落。课题：空间点、线、面的位置关系复习2019/12/4一、平面的基本性质（平面三公理）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.ABaABa、、“线面关系”“确定平面”••ABα••C•BαAαβlp•α点A、B、C不共线A、B、C可以确定一个平面P=,PPlll唯一的直线，使得“面面相交”2019/12/4公理2有三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面。推论2：经过两条相交直线，可以确定一个平面。推论3：经过两条平行直线，可以确定一个平面。•αA••BCα•••ABC•••ABCα公理2及其推论主要用于确定平面；证明点线共面2019/12/4二、直线与直线的位置关系1、位置关系：平行相交异面αabαab•P共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点αb•Pa“两者必居其一，或三者必居其一”2019/12/42、平行直线的性质（平面→空间）（1）公理4：（平行线的传递性）（2）等角定理abbcac注意区别：平面几何是在同一个平面内，空几是在不同平面内相等或互补2019/12/43、异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内，没有公共点；既不相交也不平行（2）图形：（平面衬托）（3）判断或论证异面直线（用图形法判断，用反证法论证）（4）异面直线所成的角定义：求法：按定义平移→相交→归面（解三角形求角）αβαabb•abaPab•Pα异面直线所成角的范围：0,2异面直线所成角不可能为零，否则就不异面了2019/12/4三、直线与平面的位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行αaαaαa•AaAaa无数个公共点一个公共点没有公共点注意：直线与平面平行不包含直线在平面内，直线与平面平行和直线在平面内是两种不同的位置关系2019/12/4四、平面与平面的位置关系两平面平行两平面相交αβαβll0个公共点无数个公共点（均在交线l上）2019/12/4——疑难辨析——1．平面的基本性质(1)空间中不同三点确定一个平面．()(2)空间中两两相交的三条直线确定一个平面．()(3)一条直线和一个点能确定一个平面．()(4)梯形一定是平面图形．()2019/12/4[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[解析](1)空间中不共线的三点确定一个平面．(2)空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面．(3)经过直线和直线外一点确定一个平面．(4)梯形一定是平面图形显然成立，故正确．2019/12/42．空间直线关系(1)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)若a与b相交，b与c相交，则a与c相交．()(4)若a，b与c成等角，则a∥b.()2019/12/4[答案](1)√(2)√(3)×(4)×[解析](1)由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，因为若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.(2)由平行公理知正确．(3)当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故(3)不正确．(4)当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故(4)不正确．2019/12/4例1(1)[2012·兰州一模]正方体中，P，Q，R分别是AB，AD，的中点，那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形1111ABCD-ABCD11BC(2)如图1，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()图1A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M2019/12/4答案：∴截面为六边形PQFGRE.2019/12/4变式题(1)不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面；若相交于两点，最多能确定________个平面；若相交于三点，最多能确定________个平面．(2)如图2所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．图22019/12/4[解析](1)三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图①；三条直线相交于两点，最多可确定2个平面，如图②；三条直线相交于三点，最多可确定1个平面，如图③.例2(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直．思维启迪解析探究提高异面直线所成的角【1】正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．题型分类·深度剖析例2思维启迪解析探究提高解(1)如图所示，连接B1C，由ABCD—A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．异面直线所成的角【例1】正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.例2思维启迪解析探究提高(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，异面直线所成的角【例1】正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.题型三求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.思维启迪解析探究提高异面直线所成的角【例1】正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．变式训练1直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1成60°的角．C易错警示.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误【例2】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面易错分析解析答案温馨提醒【例2】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面易错警示.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．易错分析解析答案温馨提醒易错警示.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误【例2】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．易错分析解析答案温馨提醒易错警示.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误【例2】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面B易错分析解析答案温馨提醒易错警示.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误【例2】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．易错分析解析答案温馨提醒