线段与角培优(教师)

1（一）数线段——数角——数三角形问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？分析：点线段2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5……n1+2+3+…+(n-1)=21nn问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（D）个(A)3(B)4(C)5(D)6拓展：1、在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角13=1+226=1+2+3310=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n+1)=221nn类比：从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n-1)=21nn类比联想：如图，可以得到多少三角形？（二）与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：几何语言：∵M是线段AB的中点∴12AMBMAB，22AMBMABMBA2RQPMN典型例题：1．由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（D）（A）AP=21AB（B）AB＝2PB（C）AP＝PB（D）AP＝PB=21AB2．若点B在直线AC上，下列表达式：①ACAB21；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是线段AC的中点的有（A）A．1个B．2个C．3个D．4个3.如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=12AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表示C是AB中点的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个4．已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR=______MN．分析：据题意画出图形设QN=x，则PQ=x，MP=2x，MQ=3x，所以，MR=23x，则83423xxMNMR5．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（）A2（a-b）B2a-bCa+bDa-b分析：不妨设CN=ND=x，AM=MB=y因为MN=MB+BC+CN所以a=x+y+b因为AD=AM+MN+ND所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）与角有关的问题1．已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，则∠AOC=____80°或40°________度（分类讨论）2．A、O、B共线，OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，猜想∠MON的度数，试证明你的结论．猜想：_90°______证明：因为OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线ADBMCNABCNMO3所以∠MOC=12∠AOC，∠CON=12∠COB因为∠MON=∠MOC+∠CON所以∠MON=12∠AOC+12∠COB=12∠AOB=90°3．如图，已知直线AB和CD相交于O点，COE∠是直角，OF平分AOE∠，34COF∠，求BOD∠的度数．分析：因为COE∠是直角，34COF∠，所以∠EOF=56°因为OF平分AOE∠所以∠AOF=56°因为∠AOF=∠AOC+∠COF所以∠AOC=22°因为直线AB和CD相交于O点所以BOD∠=∠AOC=22°4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，（1）若∠A=60°，求∠O；（2）若∠A=100°，∠O是多少？若∠A=120°，∠O又是多少？（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）答案：（1）120°；（2）140°、150°（3）∠O=90°+12∠A5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（B）对(A)2(B)3(C)4(D)56．互为余角的两个角（B）（A）只和位置有关（B）只和数量有关（C）和位置、数量都有关（D）和位置、数量都无关7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（C）A.12（∠1＋∠2）B.12∠1C.12（∠1－∠2）D.12∠2分析：因为∠1＋∠2=180°，所以12（∠1＋∠2）=90°90°-∠2=12（∠1＋∠2）-∠2=12（∠1－∠2）421、已知：如图（6）∠ABC＝30°，∠CBD＝70°BE是∠ABD的平分线，求∠DBE的度数。图（6）22、已知：如图（7），B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD＝2：4：3，M是AD的中点，CD＝6㎝，求线段MC的长。图（7）提高测试（一）判断题（每小题1分，共6分）：1．经过一点可以画无数条直线，经过两点可以画一条直线，经过三点可以画三条直线………………………………………………………………………………………（）【提示】错的是第三句话，因为三点可在一条直线上，也可不在一条直线上，当三点在一条直线上时（我们称之三点共线），经过这三点只可以画一条直线．【答案】×．2．两条直线如果有两个公共点，那么它们就有无数个公共点…………………（）【提示】两点确定唯一的直线．【答案】√．53．射线AP与射线PA的公共部分是线段PA……………………………………（）【提示】线段是射线的一部分．【答案】如图：显然这句话是正确的．4．线段的中点到这条线段两端点的距离相等……………………………………（）【提示】两点的距离是连结两点的线段的长度．【答案】√．5．有公共端点的两条射线叫做角…………………………………………………（）【提示】角是有公共端点的两条射线组成的图形．．．．．．【答案】×．6．互补的角就是平角………………………………………………………………（）【提示】如图，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫平角．平角是一个．．量数为180°的角．【答案】×．【点评】互补两角的和是180°，平角为180°．就量数来说，两者是相同的，但从“形”上说，互补两角不一定有公共顶点，故不一定组成平角．所以学习概念时，一定要注意区别它们的不同点，以免混淆．二．填空题（每小题2分，共16分）：7．如图，图中有________条直线，有________条射线，有________条线段，以E为顶点的角有________个．【提示】直线没有端点，可向两方无限延伸．射线有一个端点，可向一方无限延伸，线段有两个端点，不延伸．直线上一点将一条直线分成两条射线．直线上两点和它们之间的部分是线段．【答案】1，9，12，4．12条线段分别是：线段AF、AD、FD、DC、DB、CB、BE、BF、EF、CE、CA、EA．8．如图，点Ｃ、D在线段AB上．AC＝6cm，CD＝4cm，AB＝12cm，则图中所有线段的和是________cm．6【提示】1．数出图中所有的线段；2．算出不同线段的长度；3．将所有线段的长度相加，得和．【答案】40．9．线段AB＝12.6cm，点C在BA的延长线上，AC＝3.6cm，M是BC中点，则AM的长是________cm．【提示】画出符合题意的图形，以形助思．【答案】4.5．∵BC＝AB＋AC，M是BC中点，∴AM＝CM－AC＝21BC－AC＝21（AB＋AC）－AC＝21（AB－AC）＝21（12.6－3.6）＝4.5（cm）．【点评】在进行线段长度计算时，可是对其表达式进行变形、最后将值代入，求出结果．这样可简化计算，提高正确率．10．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°，则∠BOC＝________°．【提示】∠BOC＝360°－∠AOB－∠AOD－∠DOC．【答案】34．11．如图，OB平分∠AOC．且∠2∶∠3∶∠4＝3∶5∶4，则∠2＝________°，∠3＝________°，∠4＝________°．7【提示】1周角＝360°．设1份为x°，列方程求解．【答案】72；120；96．12．∠A与∠B互补，∠A与∠C互余，则2∠B－2∠C＝________°．【提示】∠A＋∠B＝180°．∠A＋∠C＝90°．代入要求的式子，化简即得．【答案】180°．∵∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝90°，∴∠B＝180°－∠A．∴2∠B－2∠C＝2（180°－∠A）－2∠C＝360°－2∠A－2∠C＝360°－2（∠A＋∠C）＝360°－2×90°＝180°．【点评】由已知可得关于∠A、∠B、∠C的方程组90180CABA，此时不能确定∠B、∠C的大小，但只要将两式的两边分别相减，使得∠B－∠C＝90°，2∠B－2∠C便不难求得．这种整体代入的思想是求值题中常用的方法．13．已知：∠的余角是52°38′15″，则∠的补角是________．【提示】分步求解：先求出∠的度数，再求∠的补角的度数．【答案】142°38′15″．∵∠的余角是52°38′15″，∴∠＝90°－52°38′15″＝89°59′60″－52°38′15″＝37°21′45″．∴∠的补角＝180°－37°21′45″＝179°59′60″－37°21′45″＝142°38′15″．【点评】题中∠只起过渡作用，可考虑到而不求，作整体代入．∵∠＝90°－52°38′15″，∴∠的补角＝180°－∠＝180°－（90°－52°38′15″）＝90°＋52°38′15″＝142°38′15″．这样避开了单位换算，利于提高运算速度及正确率．若将已知条件反映到如图所示的图形上，运用数形结合的思想观察图形，则一目了然．一般8地，已知∠的余角，求∠的补角，则∠的补角＝90°＋∠的余角，即任一锐角的补角比它的余角大90°．利用这个结论解该题就更准确、快捷．14．由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________度，此刻时针与分针的夹角是________度．【提示】分针1小时旋转360°，1分旋转6°，时钟1小时旋转30°，1分旋转0.5°．【答案】12.5，150，117.5．（三）选择题（每小题3分，共24分）15．已知线段AB＝10cm，AC＋BC＝12cm，则点C的位置是在：①线段AB上；②线段AB的延长线上；③线段BA的延长线上；④直线AB外．其中可能出现的情况有………………………………………………………………………………（）（A）0种（B）1种（C）2种（D）3种【提示】用数形结合的方式考虑．【答案】D．若点C在线段AB上，如下图，则AC＋BC＝AB＝10cm．与AC＋BC＝12cm不合，故排除①．若点C在线段AB的延长线上，如下图，AC＝11cm，BC＝1cm，则AC＋BC＝11＋1＝12（cm），符合题意．若点C在线段BA的延长线上，如下图，AC＝1cm，BC＝11cm，则AC＋BC＝1＋11＝12（cm），符合题意．若点C在直线AB外，如下图，则AC＋BC＝12（cm），符合题意．综上所述：可能出现的情况有3种，故选D．16．分别在线段MN的延长线和MN的反向延长线上取点P、Q，使MP＝2NP．MQ＝2MN．则线段MP与NQ的比是…………………………………………（）9（A）31（B）32（C）21（D）23【提示】根据条件画出符合题意的图形，以形助思．【答案】B．根据题意可得下图：解法一：∵MP＝2NP，∴N是MP的中点．∴MP＝2MN．∵MQ＝2MN，∴NQ＝MQ＋MN＝2MN＋MN＝3MN．∴MP∶NQ＝2MN∶3MN＝2∶3＝32．解法二：设MN＝x．∵MP＝2NP，∴N是MP的中点．∴MP＝2MN＝2x．∵MQ＝2MN＝2x，∴NQ＝MQ＋MN＝2MN＋MN＝3MN＝3x．∴MP∶NQ＝2MN∶3MN＝2x∶3x＝32．故选B．17．一条直线可以将平面分成两部分，两条直线最多可以将平面分成四部分，三条直线最多可以将平面分成n部分，则n等于………………………………………（）（A）6（B）7（C）8（D）9【提示】画图探索．一条线两条直线三条